Question

DAJE 50 punktów Za prawidłowe rozwiązanie tych zadań ... !!!

1. Trzy liczby tworzące ciąg geometryczny dają w sumie 42. Jeżeli do drugiej dodamy 3, a pozostałe zostawimy bez zmian, to liczby te utworzą ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby? 2. Oblicz sumę Sn pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego {an}, jeżeli a7-a3=8,a2*a7=75,n=10.

3. W ciągu geometrycznym dane są a1= - 3/2, q=1/3, an=- 1/54. Znajdź Sn,n.

4. W ciągu arytmetycznym dane są a1= -3, r=5, an=57. Znajdź n, Sn.

Answer 1

4.

a1 = -3

r = 5

an = 57

 

an = a1 + (n - 1) * r

57 = -3 + (n - 1) * 5

57 + 3 = 5n - 5

60 + 5 = 5n

5n = 65

n = 13  ------  odpwoiedź

 

Sn = (a1 + an) / 2 * n = (-3 + 57) / 2 * 13 = 54/2 * 13 = 27 * 13 = 351

 

3.

a1 = -3/2

q = 1/3

an = -1/54

 

an = a1 * q^(n - 1)

-1/54 = -3/2 * (1/3)^(n - 1)

-1/54 * (-2/3) = (1/3)^(n - 1)

1/81 = (1/3)^(n - 1)

(1/3)^4 = (1/3)^(n - 1)

n - 1 = 4

n = 5   --------  odpowiedź

 

Sn = S5 = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = -3/2 * (1 - (1/3)^5))/(1 - 1/3) = -3/2 * (1 - 1/243) / 2/3 =

-3/2 * 242/243 * 3/2 = - 121/54 = - 2 i 13/54

 

1.

a, b, c  ------- c. geometryczny

a + 3, b, c  ---- c. arytmetyczny

 

b/a = c/b

b - (a + 3) = c - b

a + b + c = 42

 

a * c = b²

b - a - 3 = c - b

a + b + c = 42

 

2b - 3 = a + c

a + b + c = 42

 

a + c = 2b - 3

b + 2b - 3 = 42

 

a + c = 2b - 3

3b = 45

b = 15 

 

a + c = 2b - 3

a + c = 30 - 3

a + c = 27

c = 27 - a

 

a * c = b²

a(27 - a) = 225

-a² + 27a - 225 = 0

a² - 27a + 225 = 0

Δ = 729 - 900 = ... < 0

z obliczen wychodzi ze nie ma takiego a, ale to raczej coś chyba nie tak w traci zadania amsz

 

 

2.

a7-a3=8,

a2*a7=75,

n=10

 

a7 = a1 + 6r

a3 = a1 + 2r

 

a1 + 6r - a1 - 2r = 8

4r = 8

r = 2

 

(a1 + r)*(a1 + 6r) = 75

(a1 + 2)*(a1 + 12) = 75

a1 = x

(x + 2)(x + 12) = 75

x² + 12x + 2x + 24 - 75 = 0

x² + 14x - 51 = 0

Δ = 196 - 4 * 1 * (-51) = 196 + 204 = 400

√Δ = 20

x1 = (-14 - 20)/2 = -34/2 = -17

x2 = (-14 + 20)/2 = 6/2 = 3

 

dla a1 = -17 mamy

a10 = a1 + 9r = -17 + 18 = 1

S10 = (-17 + 1) / 2 * 10 = (-16)/2 * 10 = -80

 

dla a1 = 3 mamy:

a10 = a1 + 9r = 3 + 18 = 21

S10 = (3 + 21)/2 * 10 = 24/2 * 10 = 120