Question

Pole trójkąta o podstawie a=8 jest równe 16, a kąt między bokami a i b ma miarę 30 stopni. Oblicz długości pozostałych boków i miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Answer 1

A=8
P=16
Pole obliczamy ze wzoru:
P=½*a*h
podstawiamy dane z zadania:
16=½ *8*h
16=4*h /:4
h=4

α=60°
sinα = h/b
sin60°=4/b
√3/2=4/b
mnożę "na krzyż"
b√3=8
b=8/√3
pozbywam się niewymierności w mianowniku mnożąc licznik i mianownik przez √3
b = 8√3/3

Obliczam długość odcinka x (od wysokości do boku b)
tg60°=h/x
√3=4/x
x√3 = 4
x=4√3/3

Długość odcinka y - od wysokości do boku c wynosi:
y=8-4√3/3

Z tw. Pitagorasa:
h²+y²=c²
4²+(8-4√3/3)²=c²
16 +64-2*8*4√3/3 +(4√3/3)²=c²
c² = 80-64√3/3 +(16*3)/9=80-64√3/3+16/3=
doprowadzam do wspólnego mianownika
=(240-64√3+16)/3=(256-64√3)/3 = 64(4-√3)/3
c²=64(4-√3)/3 /√ (obie strony pierwiastkuje)
c= 8√[(4-√3)/3]