Skorzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych w n-kącie:
Stąd:
Zatem wielokąt ma 60 boków.
To samo zadanie możemy rozwiązać korzystając ze wzoru na liczbę boków wielokąta o pprzekątnych.
Stąd:
Odp. Wielokąt ma 60 boków.
Zad. 2
x² - 6x + 5 = 0
Δ = (- 6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = (6 - 4) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1
x₁ = (6 + 4) / (2 · 1) = 10 / 2 = 5
Odp. x = 1 lub x = 5
Zad. 3
x⁴ - 7x² = 18
x⁴ - 7x² - 18 = 0
(x²)² - 7x² - 18 = 0
Wprowadzamy zmienną pomocniczą t = x²
t² - 7t - 18 = 0
Δ = (- 7)² - 4 · 1 · (- 18) = 49 + 72 = 121
√Δ = √121 = 11
t₁ = (7 - 11) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2
t₂ = (7 + 11) / (2 · 1) = 18 / 2 = 9
dla t = - 2
x² = - 2
równanie nie ma rozwiązań
dla t = 9
x² = 9
x₁ = 3 lub x₂ = - 3
Odp. x = 3 lub x = - 3
Zad. 4
Ustalamy dziedzinę - wyrażenie podpierwiastkowe musi być większe lub równe zero, zatem x ≥ 0, stąd D = <0; + ∞)
Wprowadzamy zmienną pomocniczą:
Δ = (- 1)² - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25
√Δ = √25 = 5
t₁ = (1 - 5) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2
t₂ = (1 + 5) / (2 · 1) = 6 / 2 = 3
dla t = - 2
sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązań
dla t = 3
Możemy podnieść obie strony równania do kwadratu, bo obie strony równania są nieujemne
Odp. x = 9
Zad. 5
(x + 2)(x - 4) < 0
Obliczamy miejsca zerowe
(x + 2)(x - 4) = 0
x + 2 = 0 lub x - 4 = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x - 4 = 0
x = 4
Zaznaczamy miejsca zerowe - 2 i 4 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w górę, bo a = 1 > 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są mniejsze od zera, czyli leżą pod osią OX. Stąd: x ∈ (- 2; 4)
Odp. x ∈ (- 2; 4)
Zad. 6
½x² - 2x ≥ 0
Wyznaczamy miejsca zerowe
½x² - 2x = 0
½x·(x - 4) = 0
½x = 0 lub x - 4 = 0
½x = 0 /·2
x = 0
x - 4 = 0
x = 4
Zaznaczamy miejsca zerowe 0 i 4 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w górę, bo a = ½ > 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są większe lub równe zero, czyli leżą na i nad osią OX. Stąd: x ∈ (- ∞; 0> u <4; + ∞)
Odp. x ∈ (- ∞; 0> u <4; + ∞)
Zad. 7
- 3x² ≥ - 6
- 3x² + 6 ≥ 0
Wyznaczamy miejsca zerowe
- 3x² + 6 = 0 /:(- 3)
x² - 2 = 0
x² - (√2)² = 0
(x - √2)(x + √2) = 0
x - √2 = 0 lub x + √2= 0
x - √2 = 0
x = √2
x + √2 = 0
x = - √2
Zaznaczamy miejsca zerowe - √2 i √2 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w dół, bo a = - 3 < 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są większe lub równe zero, czyli leżą na i nad osią OX. Stąd: x ∈ (-√2; √2)
Zad. 1
Skorzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych w n-kącie:
Stąd:
Zatem wielokąt ma 60 boków.
To samo zadanie możemy rozwiązać korzystając ze wzoru na liczbę boków wielokąta o pprzekątnych.
Stąd:
Odp. Wielokąt ma 60 boków.
Zad. 2
x² - 6x + 5 = 0
Δ = (- 6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = (6 - 4) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1
x₁ = (6 + 4) / (2 · 1) = 10 / 2 = 5
Odp. x = 1 lub x = 5
Zad. 3
x⁴ - 7x² = 18
x⁴ - 7x² - 18 = 0
(x²)² - 7x² - 18 = 0
Wprowadzamy zmienną pomocniczą t = x²
t² - 7t - 18 = 0
Δ = (- 7)² - 4 · 1 · (- 18) = 49 + 72 = 121
√Δ = √121 = 11
t₁ = (7 - 11) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2
t₂ = (7 + 11) / (2 · 1) = 18 / 2 = 9
dla t = - 2
x² = - 2
równanie nie ma rozwiązań
dla t = 9
x² = 9
x₁ = 3 lub x₂ = - 3
Odp. x = 3 lub x = - 3
Zad. 4
Ustalamy dziedzinę - wyrażenie podpierwiastkowe musi być większe lub równe zero, zatem x ≥ 0, stąd D = <0; + ∞)
Wprowadzamy zmienną pomocniczą:
Δ = (- 1)² - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25
√Δ = √25 = 5
t₁ = (1 - 5) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2
t₂ = (1 + 5) / (2 · 1) = 6 / 2 = 3
dla t = - 2
sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązań
dla t = 3
Możemy podnieść obie strony równania do kwadratu, bo obie strony równania są nieujemne
Odp. x = 9
Zad. 5
(x + 2)(x - 4) < 0
Obliczamy miejsca zerowe
(x + 2)(x - 4) = 0
x + 2 = 0 lub x - 4 = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x - 4 = 0
x = 4
Zaznaczamy miejsca zerowe - 2 i 4 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w górę, bo a = 1 > 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są mniejsze od zera, czyli leżą pod osią OX. Stąd: x ∈ (- 2; 4)
Odp. x ∈ (- 2; 4)
Zad. 6
½x² - 2x ≥ 0
Wyznaczamy miejsca zerowe
½x² - 2x = 0
½x·(x - 4) = 0
½x = 0 lub x - 4 = 0
½x = 0 /·2
x = 0
x - 4 = 0
x = 4
Zaznaczamy miejsca zerowe 0 i 4 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w górę, bo a = ½ > 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są większe lub równe zero, czyli leżą na i nad osią OX. Stąd: x ∈ (- ∞; 0> u <4; + ∞)
Odp. x ∈ (- ∞; 0> u <4; + ∞)
Zad. 7
- 3x² ≥ - 6
- 3x² + 6 ≥ 0
Wyznaczamy miejsca zerowe
- 3x² + 6 = 0 /:(- 3)
x² - 2 = 0
x² - (√2)² = 0
(x - √2)(x + √2) = 0
x - √2 = 0 lub x + √2= 0
x - √2 = 0
x = √2
x + √2 = 0
x = - √2
Zaznaczamy miejsca zerowe - √2 i √2 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w dół, bo a = - 3 < 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są większe lub równe zero, czyli leżą na i nad osią OX. Stąd: x ∈ (-√2; √2)
Odp. x ∈ (-√2; √2)