plis.... Question from @palka09

palka09 @palka09

October 2018 1 23 Report

plis

Roma

Zad. 1

Skorzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych w n-kącie:

$p=\frac {n \cdot (n-3)}{2}$

$p = 1710$

Stąd:

$\frac {n \cdot (n-3)}{2} = 1710 \ / \cdot 2$

$n \cdot (n-3)= 3420$

$n^2 - 3n - 3420 = 0$

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-342) = 9 + 13680 = 13689$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{13689} = 117$

$n_1 = \frac{3 - 117}{2 \cdot 1} = \frac{-114}{2} = - 57 < 0$

$n_2 = \frac{3 + 117}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

Zatem wielokąt ma 60 boków.

To samo zadanie możemy rozwiązać korzystając ze wzoru na liczbę boków wielokąta o pprzekątnych.

$n=\sqrt{2p+2,25}+1,5$

$p = 1710$

Stąd:

$n=\sqrt{2 \cdot 1710+2,25}+1,5 = \sqrt{3420+2,25}+1,5 =$

$= \sqrt{3422,25}+1,5 = 58,5 + 1,5 = 60$

Odp. Wielokąt ma 60 boków.

Zad. 2

x² - 6x + 5 = 0

Δ = (- 6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16

√Δ = √16 = 4

x₁ = (6 - 4) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1

x₁ = (6 + 4) / (2 · 1) = 10 / 2 = 5

Odp. x = 1 lub x = 5

Zad. 3

x⁴ - 7x² = 18

x⁴ - 7x² - 18 = 0

(x²)² - 7x² - 18 = 0

Wprowadzamy zmienną pomocniczą t = x²

t² - 7t - 18 = 0

Δ = (- 7)² - 4 · 1 · (- 18) = 49 + 72 = 121

√Δ = √121 = 11

t₁ = (7 - 11) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2

t₂ = (7 + 11) / (2 · 1) = 18 / 2 = 9

dla t = - 2

x² = - 2

równanie nie ma rozwiązań

dla t = 9

x² = 9

x₁ = 3 lub x₂ = - 3

Odp. x = 3 lub x = - 3

Zad. 4

$x - \sqrt{x} - 6 = 0$

Ustalamy dziedzinę - wyrażenie podpierwiastkowe musi być większe lub równe zero, zatem x ≥ 0, stąd D = <0; + ∞)

$x - \sqrt{x} - 6 = 0$

$x - x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

$(x^{\frac{1}{2}})^2- x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Wprowadzamy zmienną pomocniczą: $t = x^{\frac{1}{2}}$

$t^2- t - 6 = 0$

Δ = (- 1)² - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25

√Δ = √25 = 5

t₁ = (1 - 5) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2

t₂ = (1 + 5) / (2 · 1) = 6 / 2 = 3

dla t = - 2

$x^{\frac{1}{2}} = - 2$

$\sqrt{x} = - 2$

sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązań

dla t = 3

$x^{\frac{1}{2}} = 3$

$\sqrt{x} = 3 \ /^2$

Możemy podnieść obie strony równania do kwadratu, bo obie strony równania są nieujemne

$x = 9$

Odp. x = 9

Zad. 5

(x + 2)(x - 4) < 0

Obliczamy miejsca zerowe

(x + 2)(x - 4) = 0

x + 2 = 0 lub x - 4 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

x - 4 = 0

x = 4

Zaznaczamy miejsca zerowe - 2 i 4 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w górę, bo a = 1 > 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są mniejsze od zera, czyli leżą pod osią OX. Stąd: x ∈ (- 2; 4)

Odp. x ∈ (- 2; 4)

Zad. 6

½x² - 2x ≥ 0

Wyznaczamy miejsca zerowe

½x² - 2x = 0

½x·(x - 4) = 0

½x = 0 lub x - 4 = 0

½x = 0 /·2

x = 0

x - 4 = 0

x = 4

Zaznaczamy miejsca zerowe 0 i 4 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w górę, bo a = ½ > 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są większe lub równe zero, czyli leżą na i nad osią OX. Stąd: x ∈ (- ∞; 0> u <4; + ∞)

Odp. x ∈ (- ∞; 0> u <4; + ∞)

Zad. 7

- 3x² ≥ - 6

- 3x² + 6 ≥ 0

Wyznaczamy miejsca zerowe

- 3x² + 6 = 0 /:(- 3)

x² - 2 = 0

x² - (√2)² = 0

(x - √2)(x + √2) = 0

x - √2 = 0 lub x + √2= 0

x - √2 = 0

x = √2

x + √2 = 0

x = - √2

Zaznaczamy miejsca zerowe - √2 i √2 na osi liczbowej i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowame w dół, bo a = - 3 < 0 i odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są większe lub równe zero, czyli leżą na i nad osią OX. Stąd: x ∈ (-√2; √2)

Odp. x ∈ (-√2; √2)

1 votes Thanks 0