Question

PILNE!

Ile razy większa byłaby gęstość Ziemi a ile Słońca, gdyby były one czarnymi dziurami?

Answer 1

fajne zadanko- bo nie jest oczywiste.

pierwsze co musimy zrobic, to policzyc promienń do jakiego musiałaby się skurczyc Ziemia i Słońce by zostac czarną dziurą (promień ten nazywa się "promień schwarzschilda" czyli rsch)

wzór na rsch to:

rsch= 2GM/c²

gdzie G to stała grawitacji (6,67 ·10⁻¹¹ Nm²/kg²), M- masa ciała i c- prędkośc światła (3·10⁸ m/s)

 

pierw policzymy rsch dla Ziemi (Ziema ma M= 5,97 ·10²⁴ kg)

 

rsch= 2 · 6,67·10⁻¹¹ · 5,97 ·10²⁴ / 3·10⁸= 79,63 ·10¹³/ 9· 10¹⁶ =8,845 ·10⁻³ m

 

teraz zrobimy to samo dla Słońca (M= 1,98 · 10³⁰ kg)

 

rsch= 2 · 6,67·10⁻¹¹ · 1,98 · 10³⁰/ 3·10⁸ = 26,41 ·10¹⁹/9· 10¹⁶=2,93·10³ m

 

mamy policzone promienie jakie te dwa ciała niebieskie musiałyby miec, by stac się czarną dziurą. teraz musimy policzyc objętośc tych ciał (które są już czarnymi dziurami) ze wzoru 4,19r³ (ponieważ to wzór na objętośc kuli- a zakładamy, że nasze czarne dziury są idealnymi kulami- co nie jest prawdą, ale musimy tutaj upraszczac, by unikac ciężkich obliczeń). oznaczmy objętośc czarnej dziury powstałej po zapadnięciu Ziemi jako Vcz, a czarnej dziury po zapadnięciu Słońca jako Vcs

 

Vcz= 4,19 · (8,845 ·10⁻³)³= 4,19 ·78,23 ·10⁻⁹=327,78·10⁻⁹= 0,327 ·10⁻⁶ m³

Vcs= 4,19 · (2,93·10³)³= 4,19 · 25,15 ·10⁹ = 105,37 ·10⁹ m³

 

teraz jak mamy objętości tych ciał, obliczymy ich gęstośc (d= M/V). V policzyliśmy, a masa się nie zmieniła. 

 

dcz= 5,97 ·10²⁴/0,327 ·10⁻⁶=  18,25 ·10³⁰ kg/m³

dcs= 1,98 · 10³⁰/105,37 ·10⁹ = 0,018· 10²¹ kg/m³

 

łatwo widac tutaj zależnośc, że im większa czarna dziua tym mniejsza jej  gęstośc (stąd supermasywne czarne dziury mają gęstośc mniejszą od gęstości wody). ale mniejsza o to. teraz bierzemy uśrednione wartości gęstości Ziemi i Słońca (dz= 5,515 g/cm³= 5155 kg/m³ oraz dla Słońca ds= 1408 kg/m³)

 

no i teraz dzielimy dcz przez dz i dcs przez ds i wyjdzie stosunek o ile razy większa jest gęstośc Ziemi jako czarnej dziury i to samo dla Słońca:

 

dcz/dz= 18,25 ·10³⁰/5155= 0,0035 ·10³⁰= 35 ·10²⁶

dcs/ds= 0,018· 10²¹/1408= 18 ·10¹⁸/ 1408= 0,012 ·10¹⁸= 12 ·10¹⁵