Question

Pewien zakład stolarski produkuje stoły, które sprzedaje po 96 złotych za sztuke. Związek miedzy kosztem produkcji K(x) a liczbą x wytworzonych w ciągu dnia stołów wyraza wzor K(x)= 5 + 6x + 160. Zakład może wyprodukować dziennie maksymalnie 12 stołów. Oblicz, ile stołów dziennie powinien produkować ten zakład, aby jego produkcja była opłacalna. Określ, dla jakiej liczby wyprodukowanych w ciągu dnia stołów zysk zysk zakładu będzie największy; oblicz wartośc tego najwiekszego zysku.

Answer 1

K(x) = 5 x^2 + 6x + 160

x - ilość wyprodukowanych  w ciągu dnia stołów

Koszt wyprodukowania 12 stołów:

 

K(12) = 5*12^2 + 6*12 + 160 = 5*144 + 72 + 160 = 720 + 232 = 952

K(12) = 952 zł

----------------------

Wartość sprzedaży 12 stołów

 

W(12) = 12*96 zł = 1152 zł

------------------------------------

Zysk ze sprzedaży 12 stołów:

 

Z(12) = W(12) - K(12) = 1152 zł - 952 zł = 200 zł.

==============================================

Aby produkcja była opłacalna musi być

Z(x) = W(x) - K(x) > 0

zatem

Z(x) = 96 x - [ 5 x^2 + 6 x + 160 ] > 0

czyli

Z(x) = - 5 x^2  + 90x  - 160  > 0

========================

delta = 90^2 - 4*(-5)*(-160) = 8100 - 3200 = 4 900

p (delty ) = p ( 4 900 ) = 70

x = [ -90 - 70]/(-10) = - 160 / (-10) = 16

lub

x = [ -90 + 70]/ (-10) = -20/(-10) = 2

a = - 5 < 0, zatem

 - 5 x^2 + 90 x - 160 > 0 <=> 2 < x < 16

ale  z  założenia  mamy x < 13, czyli

Odp. Aby produkcja była opłacalna zakład musi produkować więcej

niż 2 stoły dziennie , a mniej niż 13 stołów dziennie.

===============================================

Zysk

Z(x) = - 5 x^2  + 90x - 160

a = - 5 < 0 , zatem funkcja Z osiąga maksimum dla x = p = - 90/[ 2*(-5)] =

= - 90 / (- 10) = 9

-------------------------

Z(9) = - 5 *9^2 + 90*9 - 160 = -5*81 + 810 - 160 = - 405 + 810 - 160 =

= 810 - 565 = 245

===============

Odp.Zysk będzie największy przy produkcji 9 stołów dziennie.

Wyniesie  wtedy 245 zł dziennie.

========================================================

Answer 2

Cena sprzedaży 1 stołu: 96 zł

Liczba wytworzonych w ciągu dnia stołów: x

Dochód D ze sprzedaży wytworzonych stołów: D = x · 96 = 96x

Koszt produkcji K w zależności od ilości wytworzonych stołów: K(x)= 5x² + 6x + 160

Maksymalna wielkość produkcji: 12 stołów, czyli x ∈ <1; 12> i x ∈ N₊

Zysk Z będzie to różnica dochodu D ze sprzedaży stołów i kosztów produkcji stołów, zatem

Z = D - K

Z = 96x - (5x² + 6x + 160) = 96x - 5x² - 6x - 160 = - 5x² + 90x - 160

 

Oblicz, ile stołów dziennie powinien produkować ten zakład, aby jego produkcja była opłacalna.

Zatem musimy obliczyć dla jakiej ilości x zysk będzię większy od zera, czyli

Z > 0

- 5x² + 90x - 160 > 0

Δ = 8100 -3200 = 4900; √Δ = 70

a = - 5 < 0, czyli parabola ma ramiona skierowane w dół, zatem

Jednak uwzględniając założenia, że x ∈ <1; 12> i x ∈ N₊ otrzymujemy, że

Odp. Aby produkcja stołów była opłacalna zakład musi wyprodukować minimum 3 stoły, ale nie więcej niż 12, bo zgodnie z założeniem zakład może wyprodukować dziennie maksymalnie 12 stołów.

 

Określ, dla jakiej liczby wyprodukowanych w ciągu dnia stołów zysk zakładu będzie największy oraz oblicz wartośc tego najwiekszego zysku.

 

Należy zatem obliczyć maksimum funkcji zysku w przedziale opłacalności produkcji, czyli <3; 12>

Z(x) = - 5x² + 90x - 160

a = - 5, b = 90, c = - 160, Δ = 4900

Aby znaleźć maksimum funkcji zysku w przedziale <3; 12> należy obliczyć wartość Z(x) dla x = 3, x = 12 oraz q, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli, oczywiście jeśli wierzchołek nalezy do tego przedziału, czyli najpierw obliczymy p (pierwszą współrzędną wierzchołka)

Z(3) = - 5·3² + 90·3 - 160 = -5·9 + 270 - 160 = - 45 + 270 - 160 = 65

Z(12) = - 5·12² + 90·12 - 160 = -5·144 + 1080 - 160 = - 720 + 1080 - 160 = 200

zatem Z(9) = 245

co oznacza, że zysk będzie największy, gdy zostanie wyprodukowanych 9 stołów i będzie wynosić 245 zł.