Question

Zbadaj monotoniczność ciągu (an) określonego wzorem:
A) an=n^2 - 4n -5
B) an=4 + 1/n
C) an=-(3n +5/ n+ 1)

Answer 1

A )

an = n^2 - 4n - 5

zatem

an+1 = (n+1)^2 - 4*(n+1) - 5 = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4  -5 = n^2 - 2n - 8

czyli

an+1 - an = n^2 - 2n - 8 - [ n^2 - 4n - 5] = 2n - 3 > 0  dla  n > 1

Ciąg an jest rosnący dla n > 1

===================================

B)

an = 4 + 1/n

zatem an+1 = 4 + 1/(n+1)

czyli

an+1 - an = 4 + 1/(n+1) - [ 4 + 1/n] = 1/(n+1) - 1/n =

= [ n - ( n+1)]/[ n*(n +1)] = - 1/ [ n*(n+1)] < 0  dla dowolnej liczby

naturalnej n.

Ciąg an jest malejący.

=======================

C )

Zapis jest niejednoznaczny .