Question

Parabola ma wykres:

Wykaż, że z dowolnego punktu na prostej widać tę parabolę pod kątem prostym.

Proszę również przed rozpoczęciem rozwiązywania o wytłumaczenie, co tu należy dokładnie wykazać.

Answer 1

Z punkty na prostej y=-0,25  wyprowadzamy dwie styczne.  Przechodzą one przez punkt na praboli, a więc przez punkt (x1,x1^2)  Wzór tej stycznej wyglądać będzie następująco:



Współczynnikiem kierunkowym tych stycznych jest m=2x1

przechodzić ona będzie przez okręslony punkt na prostej y=-0,25 -  (x2, -1/4) oraz punkt na paraboli (x1, x1^2). Ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty, otrzymam że tu współczynnikiem tym jest:



Przyrównujemy dwa współczynniki kierunkowe:



Stąd mamy ze wzorów Viete'a:



Powracam teraz do tego że są dwa dwa współczynniki kierunkowe stycznych:



Ponieważ iloczyn współczynników tych stycznych wynosi -1 to znaczy że są one prostopadłe, a więc parabolę widać pod kątem prostym

Answer 2

Kazda styczna ma postac y=ax
a=tgα
|a|=1
Zgodnie z oznaczeniami w zalaczniku, podstawiam:
m²+1/4=am
m²-am+1/4=0
Warunkiem stycznosci jest Δ=0
Δ=a²-4*1/4=a²-1
a²-1=0
(a+1)(a-1)=0
a=-1  v  a=1
q.e.d.