Question

Omów zagadnienie:

Wzory Viete'a dla wielomianów. (proszę nie ograniczać się do funkcji kwadratowej, tylko wyjaśnić na wielomianach stopnia wyższego niż 2).

Nie interesują mnie tylko suche wzory, ale także ich teoretyczne wyprowadzenie.

Answer 1

podam wyprowadzenie dla trójmianu kwadratowego. sądze iż wyprowadzenie dla potęg większych niż dwa nie ma większego sensu w LO

 

f(x)=ax²+bx+c

 

x₁+x₂=[(-b-√Δ)/2a]+(-b+√Δ)/2a=

-2b/2=-b/a

 

x₁·x₂=[(-b-√Δ)/2a]×(-b+√Δ)/2a=

(b²-Δ)/(4a²)=

(b²-b²+4ac)/4a²=c/a      przy czym a≠0

 

Jeżeli mamy a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃=0

to warto zauważyć że dzięki wzorom viete'a mamy gdzie x₁,x₂,x₃ to miejsca zerowe funkcji

x₁+x₂+x₃=-a₁/a₀

x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=a₂/a₀

x₁x₂x₃=-a₃/a₀

 

czyli ogólniej mówiąc w pierwszej linijce mamy wszystkie kobinacje liniowe sumy pojedyńczych wyrażeń (np. x₁)

w drugiej linijce mamy wszystkie kombinacje liniowe sumy podwójnych wyrażeń (np. x₁x₂ )

itd

warto też zauważyć przy wypisywaniu tych równań suma składników powinna dać nam trójkąt (prawie) pascala (bez pierwszej 1) czyli 

1, 1  1,  1  2  1,  1  3  3  1, 1  4  6  4  1 

a znaki w poszególnych linijkach różnią się znakiem i indeksem 

 

napewno znajomość wzorów vieta jest pomocna w rozwiązaniu tego zadania

x³+ax²+bx+c=0  MZ wynoszą 1 2 3 znajdź a b c 

 

albo

znajdź a b  c W(x)=x⁴+cx³+bx²+cx-2 gdzie x=1 jest miejscem zerowym W(x)

 

proszę

 

a więc

a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=ax³+bx²+cx+d

a(x³-x²x₂-x²x₁+xx₁x₂-x²x₃+xx₂x₃+xx₁x₃-x₁x₂x₃)=ax³+bx²+cx+d

teraz należy tylko porównać liczby przy potęgach x³ x² x i x⁰

ax³+ax²(-x₁-x₂-x₃)+ax(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)-ax₁x₂x₃=ax³+bx²+cx+d

 

x³:a=a

x²:-x₁-x₂-x₃=b/a ==> x₁+x₂+x₃=-b/a

x: x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃=c/a

x⁰:x₁x₂x₃=-d/a

 

dla wyższych potęg analogicznie pozdr