Punkty E i F są odpowiednio środkami boków AB i AD kwadratu ABCD o boku długości 4. Odcinki ED i FC .... Question from @HaveYouMetTed

November 2018 1 121 Report

Punkty E i F są odpowiednio środkami boków AB i AD kwadratu ABCD o boku długości 4. Odcinki ED i FC dzielą kwadrat na cztery części. Oblicz pole każdej z nich. (uzasadnić dokładnie ewentualne podobieństwa trójkątów).

heh |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=4 =a
|AE|=|EB|=|AF|=|FD|=2 =a/2
------------------------------------------------------------------------------
1. Pole kwadratu:
$P_{k}=a^{2}\\
\\
P_{k}=4^2\\
\\
P_{k}=16\ [j^{2}]$
------------------------------------------------------------------------------
2. Pole trójkątów AED i CDF:
-- trójkąty AED i CDF są przystające:
----- |AD|=|DC|=4
----- |FD|=|AE|=2
----- Kąt |EAD|=|FDC|=90 stopni
[Jest to cecha BKB (bok, kąt, bok)]
-- Pola trójkątów:
$P_{t}=\frac{a*\frac{1}{2}a}{2}\\
\\
P_{t}=\frac{4*2}{2}\\
\\
P_{t}=4\ [j^{2}]$
------------------------------------------------------------------------------
3. Długość przeciwprostokątnej |CF|=|DE|:
$a^{2}+(\frac{1}{2}a)^{2}=|CF|^{2}\\
\\
 |CF|^{2}=4^{2}+2^{2}\\
\\
 |CF|^{2}=16+4\\
\\
 |CF|^{2}=20\\
\\
 |CF|=2\sqrt{5}$
------------------------------------------------------------------------------
4. Wysokość trójkąta CFD - odcinek |DG|:
$P=\frac{|CF|*|DG|}{2}\\ 
\\
P=4\\ 
\\
4=\frac{2\sqrt{5}|DG|}{2}\\ 
\\
4=|DG|\sqrt{5}\\
\\
 |DG|=\frac{4}{\sqrt{5}}\\
\\
 |DG|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
[Odcinek DG jest przyprostokątną trójkąta DFG]
------------------------------------------------------------------------------
5. Długości boków trójkąta DFG
$|DG|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\\
\\
 |DF|=2\\
\\
 |FG|^{2}+|DG|^{2}=|DF|^{2}\\
\\
 |FG|^{2}=|DF|^{2}-|DG|^{2}\\
\\
 |FG|^{2}=2^{2}-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}\\
\\
 |FG|^{2}=4-\frac{80}{25}\\
\\
 |FG|^{2}=\frac{100}{25}-\frac{80}{25}\\
\\
 |FG|^{2}=\frac{20}{25}\\
\\
 |FG|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
------------------------------------------------------------------------------
6. Trójkąty CDF i DFG są podobne:
[cecha BBB (bok, bok, bok)]
$\frac{|FG|}{|DF|}=\frac{|DG|}{|DC|}=\frac{FD}{|CF|}\\
\\
\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{4}=\frac{2}{2\sqrt{5}}\\
\\
\frac{2\sqrt{5}}{5}*\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}*\frac{1}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}*\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\
\\
\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
Trójkąty te są podobne.
------------------------------------------------------------------------------
7. Pole trójkąta DFG:
$P1=\frac{|FG|*|DG|}{2}\\
\\
P1=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}*\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2}=\\
\\
P1=\frac{8*5}{25}*\frac{1}{2}\\
\\
P1=\frac{4}{5}\ [j^{2}]$
------------------------------------------------------------------------------
8. Pola figur AEGF i CDFG:
$P2=P_{t}-P1\\
\\
P2=4-\frac{4}{5}\\
\\
P2=3\frac{1}{5}\ [j^{2}]$
------------------------------------------------------------------------------
9. Pole figury BCGE:
$P3=P_{k}-(2*P2+P1)\\
\\
P3=16-(2*3\frac{1}{5}+\frac{4}{5})\\
\\
P3=16-(2*\frac{16}{5}+\frac{4}{5})\\
\\
P3=16-(\frac{32}{5}+\frac{4}{5})\\
\\
P3=16-\frac{36}{5}\\
\\
P3=16-7\frac{1}{5}\\
\\
P3=8\frac{4}{5}\ [j^2]$

1 votes Thanks 1