Odcinek AB o końcach A(-2,-1) i B(2,3) jest podstawą trójkąta ABC. Wierzchołek C należy do wykresu f.... Question from @Zamartwiona666

December 2018 1 15 Report

Odcinek AB o końcach A(-2,-1) i B(2,3) jest podstawą trójkąta ABC. Wierzchołek C należy do wykresu funkcji f(x)=x^2+6x+10. Wyznacz współrzędne punktu C,
tak aby pole trójkąta ABC było najmniejsze. Ile wynosi to pole?

Wierzchołek C (-2,5, 1,025)
Pole = 5,5
A pole trójkąta jest najmniejsze gdy odległości wierzchołka C od prostej AB jest najkrótsza

Simon7S7 Najpierw wyznaczmy prostą AB:
y=ax+b jest wiele metod proponuję Ci taką:
a-wsp. kierunkowy prostej, możemy wyznaczyć ze wzoru:
$a= \frac{Δy}{Δx}= \frac{y1-y2}{x1-x2}= \frac{-1-3}{-2-2}=1$
Czyli y=1x+b Teraz wyliczymy b podstawiając np. punkt A:
-1=1*-2+b
1=b Czyli mamy prostą AB: y=x+1
Zapiszmy ją w postaci ogólnej: Ax+By+C=0
0=x-y+1 po prostu przeniosłem y na prawo
Stąd A=1 B=-1 C=1
Ok, teraz zapiszę punkt C we współrzędnych niewiadomych:
C=(z, $z^2+6z+10$ ) Czemu tak? Otóż przecież punkt z należy do podanej w zadaniu funkcji, stąd jeżeli jego x-ową nazwę z to y= $z^2+6z+10$

Teraz skorzystam ze wzoru na odległość punktu od prostej:
$d= \frac{|Ax+By+C|}{ \sqrt{A^2+B^2} }$
Gdzie A,B,C znamy natomiast x oraz y to współrzędne punktu C.
Zatem mamy:
$d= \frac{|1*z+(-1)*(z^2+6z+10)+1|}{ \sqrt{1^2+(-1)^2}} \\ 
d=\frac{|z-z^2-6z-10+1|}{ \sqrt{2}} \\ d=\frac{|-z^2-5z-9|}{ \sqrt{2}} 
$
W liczniku tej wartości mamy f.kwadratową w wartości bezwzględnej.
Policzmy jej Δ=25-36<0 Oznacza to, że f. ta nie ma miejsc zerowych, a ponieważ jej współczynnik a<0 to parabola jest skierowana ramionami w dół. Oznacza to, że jeżeli weźmiemy nawet wartość bezwzględną z tej funkcji to i tak najmniejszą wartością jaką osiąga ta f. będzie wartość osiągana w wierzchołku.
Może na łatwiejszy język:
Przedział wartości tej paraboli to y∈(-nieskończoność,q]
jeżeli weźmiemy wartość bezwzględna z tej funkcji to przedział wartości:
y∈[q,+nieskończoność) Aby więc wartość w liczniku naszego ułamka byłą najmniejszą z możliwych to musimy przyjąć ją, że wynosi q. Teraz znajdźmy dla jakiego punktu, czyli dla jakiego p wartość ta jest przyjmowana?
Przypominam p=-b/2a=5/-2=-2,5.I jest to wartość szukanego z!! Z tego względu, ze dla takiego z licznik nasz będzie najmniejszy z możliwych.
Zatem z=-2,5 Natomiast $z^2+6z+10=1,25$
Teraz jeszcze nam zostało tylko pole trójkąta do policzenia.
Znajdźmy punkt D, który wyznaczy wysokość trójkąta ABC z wierzchołka C.
Prosta CD jest prostopadła do AB stąd jej współczynnik kierunkowy a jest przeciwny i odwrotny do a wziętego z prostej AB.
Przypominam: pr.AB: y=x+1 zatem szukane a=-1
pr. CD: y=-x+b podstawiamy punkt C:
1,25=2,5+b
-1,25=b pr.CD: y=-x-1,25
Teraz współrzędne punktu D (stanowią przecięcie podanych dwóch prostych AB i CD)
$\left \{ {{y=x+1} \atop {y=-x-1,25}} \right.$
Po jego rozwiązaniu mamy, że:
$x=-1,125$ y= $y=-0,125$
Teraz wystarczy policzyć odległość między C a D, będzie to nasza wysokość trójkąta.
$CD=\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2} \\ \\ CD= \sqrt{ \frac{242}{64} } = \frac{11 \sqrt{2} }{8}$
teraz AB= $\sqrt{(-2-2)^2+(-1-3)^2} \\ AB=4 \sqrt{2}$
I na koniec pole= $\frac{11 \sqrt{2} *4 \sqrt{2} }{2}=44$

2 votes Thanks 1