Question

Obwód prostokąta jest równy 40. Wyznacz długości boków tego prostokąta, jeśli wiesz, że kwadrat długości jego przekątnej jest najmniejszy.

Rozwiąż zadanie i uzupełnij odpowiedź.

Wpisz w każdą lukę odpowiednią liczbę.

Odpowiedź: Prostokąt ma boki długości............ i ...............

Zadanie związane z funkcją kwadratową.

Answer 1

Obwód: 

 

Kwadrat przekątnej z twierdzenia Pitagorasa: 

 

Mamy układ równań:

 

Z pierwszego równania wyznaczamy 

i podstawiamy do drugiego:

 

 

Jest to funkcja kwadratowa postaci 

i jej ekstremum wypada zawsze w punkcie:

 

 

co w naszym przypadku oznacza:

 

Wracamy do wyznaczonego 

 

Mamy już odpowiedź: Prostokąt ma boki długości 10 i 10.

 

Tak naprawdę odpowiedź można znaleźć w pamięci, znając użyteczny fakt, że kwadrat jest prostokątem o najkrótszej przekątnej przy zadanym obwodzie (co wykazaliśmy w tym zadaniu).