Question

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, którego powierzchnię boczną tworzy wycinek koła o promieniu długości 3cm i kącie:
a) α = 180 stopni
b) α = 120 stopni
c) α = 60 stopni

Chodzi mi dokładnie o obliczenia. ;)

Answer 1

Pole P powierzchni całkowitej stożka to suma pola podstawy P(p) oraz pola powierzchni bocznej P(pb):

P = P(p) + P (pb) - to co w nawiasie ozn że ma być zapisane w indeksie dolnym
podstawą jest koło zatem pole koła obilczymy ze wzoru πr².
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej należy skorzystać ze wzoru na długość łuku i faktu że długość łuku musi być równa obwodowi podstway stożka (nie chce mi się tego wyprowadzać - złe sie tu zapisuje ułamki - jeśli tego potrezebujesz napisz to cos wykombinuje) po przekształceniach otrzymamy że
(Uwaga! "/" oznacza kreskę ułamkową , "x" ozn znak mnożenia)
α =(360 x r )/l (to nam bedzie potrzebne do znalezienia dlugosci promienia podstawy)
gdzie l - jest długością promienia wycinka koła
r jest długością promienia podstawy
ostatecznie wzór na pole wygląda następująco
P= πr (r+l)

mamy już wszystkie wzory możemy przejść do obliczeń
a) l=3, α= 180⁰ , znajdziemy r (podstawiamy do wzoru na α)

α= (360 x r) / l
180= (360 x r) / 3
180 x 3 = 360 x r
540 = 360 x r /÷360
r= 1,5 - to jest długość promienia podstawy

mamy juz wszystko aby obliczyć pole powierzchni całkowitej

P = 3/2π x (3/2 + 3) = 3/2 π x 9/2 = 27/4π

b) α = 120, l=3
obliczmy znowu r
α = (360 x r ) / 3
3 x 120 = 360 x r
r=1

zatem P = π x 1 (1 + 3) = π x4 = 4π

c) α = 60 , l=3
3 x 60 = 360 x r
360 x r = 180
r = 1/2
zatem P = π x 1/2x (1/2 +3) = 1/2 π x 7/2 = 7/4 π
koniec

Answer 2

Pole powierzchni = pole podstawy + pole wycinka koła o promieniu R
a/ dla kąta 180o
- pole powierzchni bocznej = 1/2 powierzchni koła o promieniu R = 3 cm
- długość łuku wycinka koła wynosi = 2x pi x R /2 = 3 x pi = długość obwodu
koła stanowiącego podstawę stożka
- r1 = promień podstawy stożka
pi x r1 x 2 = 3 x pi z tego r1 = 3/2
Pole całkowite = pi x 3^2/2 + pi x /3/2/^2 = 27/4 x pi
b/ dla kąta 120o
- pole powierzchni bocznej = 1/3 powierzchni koła o promieniu R = 3 cm
- długość łuku wycinka koła wynosi = 2 x pi x R/3 = 2xpix3/3 = 2xpi
- jest to długość obwodu koła stanowiącego podstawę stożka
- r2 = promień podstawy stożka
pi x r2 x 2 = 2 x pi - z tego r2 = 1
Pole całkowite = pi x 1^2 + pi x 3^2/3 = pi + 3xpi = 4xpi
c/ dla kąta 60o
- pole powierzchni boczne = 1/6 powierzchni koła o promieniu R=3 cm
- długość łuku wycinka koła wynosi 2xpixR/6 = 2xpix3/6 = 1xpi
jest to długość obwodu koła stanowiącego podstawę stożka
- r3 = promień podstawy stożka
pi x r3 x 2 = pi z tego r3 = 1/2
Pole całkowite = pi x /1/2/^2 + pi x 3^2/6 = 7xpi/4

P1 = 27xpi/4
p2 = 4xpi
p3 = 7xpi/4
ateb