Question

Oblicz odległość punktu A od prostej k
A=(5;8) k;-3x+2y-1=0

Answer 1

A = (2,3)
k: -3x + 2y -1 = 0
szukam takiego punktu B(x,y), ktory
1. leży na prostej k
2. wektor AB jest prostopadły do k

ad1.
2y = 3x+1
y = (3x+1)/2 = 3/2x + 1/2
B=(x,(3x+1)/2)

ad2.
wektor AB = [x - 2; (3x+1)/2 - 3]
nachylenie prostej k jest równe 3/2
prosta prostopadla do k musi mieć nachylenie -2/3, bo 3/2 * (-2/3) = -1
zatem ((3x+1) / 2 - 3) / (x-2) = -2/3
bo nachylenie prostej zawierajacej wektor jest równe dy/dx
((3x+1) / 2 - 3) / (x-2) = -2/3
((3x+1) / 2 - 3) * 3 = -2 * (x-2)    /*2
(3x+1-6) * 3 = -4 (x - 2)
(3x-5) * 3 = -4 (x - 2)
9x-15 = -4x + 8
13x = 23
x = 23/13
y = 3/2 * 23/13 + 1/2 = 69 / 26 + 13 / 26 = 82 / 26 = 41 / 13

B = (23/13; 41/13)

AB = [23/13 - 2; 41/13 - 3] = [-3/13; 2/13]

dlugosc wektora AB jest szukaną odległością.
dlugosc wektora AB = pierwiastek z ((-3/13)^2 + (2/13)^2) = pierwiastek z (13/169) = p(13)/13