Oblicz granicę lim x-->0.... Question from @Ikssde

December 2018 1 23 Report

Oblicz granicę lim x-->0
$( \frac{1}{x^2} -ctg^2x)$

Paawełek Zauważ pierw, że:
$\dfrac{1}{x^2}-\cot^2 x = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}= \dfrac{\sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} - \dfrac{x^2\cos^2 x}{x^2 \sin^2 x}= \dfrac{\sin^2 x - x^2 \cos^2 x}{x^2\sin^2 x}$

W takim układzie mamy symbol nieoznaczony 0/0. Liczę pochodne licznika i mianownika:
$(\sin^2 x - x^2 \cos^2 x)' = \sin(2x) -2x \cos^2 x + x^2 \sin (2x) \\ \\ (x^2\sin^2 x)'=2x\sin^2 x +x^2 \sin(2x) \\ \\ \hbox{Mamy:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin (2x)-2x\cos^2 x+x^2 \sin(2x)}{2x\sin^2 x + x^2 \sin(2x)} = \left[ \dfrac{0}{0}\right]$

Liczymyy znów pochodne:

$(\sin (2x)-2x\cos^2 x+x^2 \sin(2x))' = \\ \\ =2\cos(2x)-2\cos^2 x+2x\sin(2x) +2x\sin(2x)+2x^2 \cos(2x)= \\ \\ =4x \sin(2x) + 2(x^2+1) \cos (2x) - 2\cos^2 x \\ \\ (2x\sin^2 x + x^2 \sin(2x))'= \\ =2\sin^2 x +2x\sin(2x)+2x\sin(2x)+2x^2 \cos(2x)$

Dalej wychodzi 0/0, liczę znów....

$(4x \sin(2x) + 2(x^2+1) \cos (2x) - 2\cos^2 x)' = \\ \\ =4\sin (2x) + 8x\cos(2x) + 4x\cos (2x)-4(x^2+1)\sin(2x) +2\sin(2x)= \\ \\= (-4x^2-4+6)\sin (2x)+12 x \cos(2x)= \\ = (-4x^2+2)\sin(2x)+12x \cos(2x)$

Mianownik........:

$(2\sin^2 x +2x\sin(2x)+2x\sin(2x)+2x^2 \cos(2x)) ' = \\ \\ = (2\sin^2 x + 4x\sin(2x) + 2x^2 \cos(2x))' = \\ \\ =2\sin(2x) + 4\sin (2x) + 8x\cos(2x)+4x\cos (2x) - 4x^2 \sin(2x)= \\ \\ =(6-4x^2) \sin(2x)+12x \cos (2x)$

No i po trzech pochodnych wychodzi nam coś takiego:
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{ (-4x^2+2)\sin(2x)+12x \cos(2x)}{(6-4x^2) \sin(2x)+12x \cos (2x)} = \left[ \dfrac{0}{0}\right]$

No to jedziemy... Z czwartą pochodną:
$((-4x^2+2)\sin(2x)+12x \cos(2x))'= \\ \\ = -8x \sin (2x) + (-8x^2+4)\cos (2x) + 12 \cos (2x)-24x \sin (2x)= \\ \\ =-32x \sin (2x) + (-8x^2+16)\cos (2x) \\ \\ \\ ( (6-4x^2)\sin (2x) + 12x \cos (2x)) ' = \\ \\ = - 8x \sin (2x) + (12-8x^2 ) \cos (2x) + 12\cos (2x) - 24x \sin(2x)= \\ \\ =-32x \sin(2x)+(24-8x^2)\cos(2x)$

No i wkońcu mamy wynik....

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-32x \sin (2x) + (-8x^2 + 16)\cos (2x)}{-32 x \sin (2x) + (24-8x^2) \cos (2x)}= \\ \\ = \dfrac{0+16\cos 0 }{0 + 24 \cos 0 } = \dfrac{16}{24} = \boxed{\dfrac{2}{3}}$

0 votes Thanks 0