Oblicz granicę: a) b) c) d) e) f) g) h).... Question from @Daria296

January 2019 1 66 Report

Oblicz granicę:
a) $\lim_{x \to 1} [ \frac {x+2}{x^2-5x+4}+ \frac{x-4}{3(x^2-3x+2)} ]$
b) $\lim_{x \to 0} xctg3x$
c) $\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1+x^2}-1 }{x}$
d) $\lim_{x \to -8} \frac{ \sqrt{1-x}-3 }{2+ \sqrt[3]{x} }$
e) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{x^2-2x-1} - \sqrt{x^2-7x+3}$
f) $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+1}-x$
g) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2- \sqrt{x} }{ \sqrt{x} -1}$
h) $\lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{sin2x}$

Hazyr 1) $\lim_{x \to 1} (\frac{x+2}{(x-1)(x-4)}+\frac{x-4}{3(x-1)(x-2)})\\
 \lim_{x \to 1}(\frac{(x+2)(x-2)*3+(x-4)(x-4)}{3(x-1)(x-2)(x-4)})\\
\\
$
$\lim_{x \to 1}\frac{4(x^2-2x+1)}{3(x-1)(x-2)(x-4)}=\lim_{x \to 1} \frac{4(x-1)}{3(x-2)(x-4)}=0\\
$
2) $\lim_{x \to 0}x*\frac{cos(3x)}{sin(3x}\\
z\ reguly\ de'hospitala\ czyli\ licze\ pochodna\ mianownika\ i\ pochodna\\
licznika\\
\lim_{x \to 0} \frac{cos(3x)-3xsin(3x)}{3cos(3x)}=\frac{1}{3}$
3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x*(\sqrt{1+x^2}+1)}= \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x*(\sqrt{1+x^2}+1)}\\
 \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}=0$
5) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\\
= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3})*(\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3})}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3})} \\
= \lim_{x \to \infty} \frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}}=\frac{5}{2}$
w ostatniej linijce spod kazdego pierwiastka wyciagnalem x^2 przed nawias i pierwiastek z x^2 = x potem dodael mte dwa iksy do siebie i podzielilem licznik i mianownik przez x co wyszlo 5/2
6) metoda ta sama co w punkcie 5
7) metoda de'hospitala - powinno wyjsc 3
8) $\lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{sin2x}$
w tym przykladzie mozna uzyc wzoru ile to jest sin3x i sin2x
jest to w tablicach chyba
$\lim_{x \to 0} \frac{sinx(-4sin^2x+3)}{2sinx*cosx}= \lim_{x \to 0} \frac{-4sin^2x+3}{2cosx}
=\frac{3}{2}$
4) $\lim_{n \to -8} \frac{\sqrt{1-x}-3}{2+ \sqrt[3]{x} }\\
$
i teraz jest tu troche paprania sie z przykladem bo trzeba sprzezyc zarowno licznik jak i mianownik a zeby bylo jeszcze fajniej to mianownik sprowadzamy do wzoru skroconego mnozenia postaci a^3+b^3
$\lim_{x \to -8} \frac{\sqrt{1-x}-3}{2+ \sqrt[3]{x} }=\\
\\
= \lim_{x \to -8} \frac{(\sqrt{1-x}-3)(\sqrt{1-x}+3)(4-2 \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x^2}) }{(2+ \sqrt[3]{x})(4-2 \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x^2})(\sqrt{1-x}+3) }\\
\\
 \lim_{x \to -8} \frac{-(x+8)(4-2 \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x^2})}{(x+8)(\sqrt{1-x}+3)}=\frac{2}{3}$