Question

Oblicz dlugosc krawedzi czworoscianu foremnego oraz jego objetosc, jezeli jego pole powierzchni calkowitej tego czworościanu wynosi 64 pierwistkow z 3.

(Nie mogę używać żadnych gotowych wzorów. )

Jedynie Pitagoras.

Answer 1

pole calkowite czworoscianu fofemnego Pc=64√3 j²

pole tego czworoscianu skladaja  sie z 4 pola  Δ rownobocznych o boku a

liczymy z pitagorasa wysoksoc Δ

(½a)²+h²=a²

¼a²+h²=a²

h²=a²-¼a²

h²=¾a²

h=a√¾=

h=a√3/2

czyli pole Δ (sciany czworoscianu)

PΔ=½·a· a√3/2=½·(a²√3/2)=[a²√3]/4

pole Δ P=[a²·√3]/4

czyli:Pc=4·[a²√3/4]=a²√3

64√3=a²√3 /:√3

a²=64

a=√64=8 dl. krawedzi czworoscianu

wyprowadze wzor na wysokosc H czworoscianu i objetosc V:

⅔h podstawy =⅔·a√3/2=a√3/3

z pitagorasa:

(a√3/3)²+H²=a²

H²=a²-(a√3/3)²

H²=a²-⅓a²

H²=⅔a²

H=a√⅔=a·√2/√3=a√6/3

H=a√6/3

 

czyli podstawiamy za a=8

H=(8·√6)/3

objetosc czworoscianu:

Pp=a√4/4=8²√3/4= 64√3/4=16√3 j²

V=⅓Pp·H

V=⅓·16√3 · 8√6/3=128√18/9=384√2/9=(128√2) /3 [j³]

odp:krawedz czworoscianu ma dlugosc 8 a objetosc rowna V=( 128√2)/3