Question

1. Wykaż, że ciąg jest ciagiem malejącym, jeśli: an=7-(n-1)²

2. Wykaż, że ciag jest ciagiem rosnącym jeśli: an=n²-n-2

3. Wykaż, że ciag jest ciągiem malejącym jeśli: an=1+1/n

bardzo proszę o rozwiązanie.

Answer 1

1. Sprawdzamy czy ciąg jest malejący, czyli patrzymy, czy dany wyraz jest mniejszy od wyrazu go poprzedzającego. W tym celu od wyrazu następnego (ogólnie a_n+1) odejmiemy wyraz go poprzedzający (an). Spodziewamy się otrzymać wynik mniejszy od zera - odjemnik jest większy od odjemnej.

 

Otrzymany wynik mówi nam, że ciąg (an) jest malejący dla każdej liczby n większej od 0,5. Wiemy ponadto, że najmniejsza liczba n w ciągu jest równa jeden, czyli wynik jest prawdziwy dla każdego wyrazu ciągu.

Wniosek: Ten ciąg jest malejący.

 

2. Przeprowadzamy analogiczne rozumowanie. Ciąg jest rosnący, gdy różnica wyrazów: następnego i poprzedniego jest większa od zera.

Dochodzimy do wniosku, że ciąg jest rosnący dla dodatnich liczb n, czyli dla każdego wyrazu ciągu.

Wniosek: Ten ciąg jest rosnący.

 

3. Analogicznie do zad. 1.

 

Widzimy od razu, że mianownik jest zawsze dodatni (iloczyn liczb naturalnych, różnych od 0), a licznik jest ujemny.

Wniosek: Ten ciąg jest malejący.