Question

Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc że do jej wykresu należą punkty

A(1,3)

B(-1,-3)

C(2,3)

Przedstaw w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

Dam najlepszą odpowiedź

Answer 1

A =(1;3)

B = (-1; -3)

C = (2 ; 3)

y = a x² + b x + c

zatem

3 =a +b + c

-3 = a*(-1)² = b*(-1) + c = a - b + c

3 =a*2² + b*2 +c = 4a + 2b + c

-----------------------------------

Mamy układ równań:

a + b + c = 3  ---> c = 3 - a - b

a - b + c = -3

4a +2b + c = 3

-------------------

a -b +3 - a - b = -3

4a + 2b +3 - a - b = 3

-------------------------

-2b = -3 - 3

3a +b = 0

--------------

-2b = -6 / : (-2)

3a = - b

--------------

b = 3

3a = -3 / : 3

-----------------

a = -1

b = 3

c = 3 -a -b = 3 +1 -3 = 1

zatem

y = -x² + 3 x + 1       postać ugólna funkcji kwadratowej

===============

p = -b/(2a) = -3/(-2) = 3/2 = 1,5

Δ = b² - 4ac = 3²- 4*(-1)*1 = 9 + 4 = 13

q = - Δ/(4a) = -13/(-4) = 13/4

a = -1

zatem y = a[ x - p]² + q

y = - (x -1,5)² + 13/4  - postać kanoniczna funkcji

===============================================

√Δ = √13

x1 = [-3 - √13]/(-2) = 1,5 + 0,5 √13

x2 = [-3 + √13]/(-2) = 1,5 - 0,5 √13

zatem

y = a*(x -x1)(x - x2)

y = -(x - 1,5 - 0,5 √13)(x -1,5 +0,5 √13)  - postać iloczynowa funkcji

============================================================