Question

Napisz równanie okręgu o promieniu √5 stycznego do prostej o równaniu x - 2y - 1 = 0 w punkcie A = (3,1).

Answer 1

R = √5
x - 2y - 1 = 0
2y = x -1
y = 0,5 x - 0,5
A = (3,1)
Środki okręgów będą leżały na prostej prostopadłej do danej
prostej.
0,5*a1 = -1
a1 = -2
y = -2x + b oraz punkt A =(3;1)
1 = -2*3 + b ----> b = 1 + 6 = 7
y = -2x + 7
S - środek okręgu
S = (x1; y1)
wektor AS = [ x1 -3; y1 - 1] , ale y1 = -2 x1 +7 zatem
wektor AS = [ x1 -3; -2x1 +7 -1] = [x1-3; -2x1 +6]
mamy (x1-3)² + (-2x1 +6)² =(x1)² - 6x1 + 9 +4(x1)² -24x1 + 36 =
= 5(x1)² -30 x1 +45 = r² = 5
(x1)² - 6x1 + 8 = 0
Δ = 36 - 4*8 = 4
√Δ = 2
x1 = [6- 2]/2 = 2
lub
x1 = [6+2]/2 = 4
y1 = -2*2 + 7 = 3 lub y1 = -2*4 + 7 = -1
zatem
S1 = (2 ; 3)
S2 = (4 ; -1)
S1 , S2 - środki okręgów stycznych
Odp.
Okręgi styczne do prostej x -2y - 1 = 0 w punkcie A =(3;1)
mają równania
(x -2)² +(y -3)² = 5
(x -4)² + (y +1)² = 5
spr. Punkt A jest środkiem odcinka S1S2
A = [ (2+4)/2; (3-1)/2] = (6/2; 2/2) = ( 3 ; 1)