Question

Na prostej o równaniu 4x+3y-9=0 wyznacz punkt Q , którego odległość od punktu P = (4,6) jest najmniejsza. Oblicz te odleglosc. Z góry dziękuje :)

Answer 1

4x+3y-9=0 >q

Answer 2

4 x + 3 y - 9 = 0

zapiszę w postaci kierunkowej

3 y = - 4 x + 9 / : 3

y = (- 4/3) x + 3

Przez punkt P = ( 4; 6)  poprowadzę prosta prostopadłą do danej prostej:

( -4/3)*a2 = - 1

a2 = 3/4

y = (3/4) x + b2  - równanie dowolnej prostej prostopadłej do danej

Wstawiam    4  za x  i   6 za y:

6 = (3/4)*4 + b2

6 = 3 + b2

b2 = 3

y = ( 3/4) x + 3    - szukana prosta prostopadła

--------------------------------------------------------------

Szukam teraz punktu Q  , czyli punktu przecięcia się tych prostych:

y = ( -4/3) x  + 3

y = ( 3/4) x + 3

------------------------

( - 4/3) x + 3 = (3/4) x + 3

( -4/3) x = (3/4) x   / * 12

- 16 x = 9 x

25 x = 0

x = 0

------

y = ( 3/4)*0 + 3 = 3

-------------------------

Odp.  Q = ( 0; 3)

=====================

P = ( 4; 6),   Q = ( 0; 3)

 d = I P Q I

zatem

d^2  = I P Q I^2 = ( 0 -4)^2 + (3 - 6)^2 = 16 + 9 = 25

czyli

d = 5

======

Odp.  Q = ( 0; 3),  d = 5

============================