Question

Czy ciąg an jest arytmetyczny? Odpowiedź uzasadnij.
an= 2n+n^2 / n

Answer 1

An=(2n+n²)/n
trzeba sprawdzić czy stała jest różnica w tym ciągu,obliczyć najpierw wyraz n+1
a(n+1)=[2(n+1)+(n+1)²]/(n+1)=(2n+2+n²+2n+1)/(n+1)=(n²+4n+3)/(n+1)
teraz od a(n+1) odejmiemy an
(n²+4n+3)/(n+1) - (2n+n²)/n= (n²+4n+3)*n/(n+1)*n  -  (2n+n²)*(n+1)/(n+1)*n=
[(n³+4n²+3n)-(2n²+2n+n³+n²)]/(n+1)*n=(n³+4n²+3n-n³-3n²-2n)/(n+1)*n=(n²+n)/(n+1)*n=n(n+1)/(n+1)*n=1
różnica wynosi 1 jest to ciąg arytmetyczny

Answer 2

A1 = 2*1 + 1^2 / 1 = 3
a2 = 2*2 + 2^2 / 2 = 6
a3 = 2*3 + 3^2 / 3 = 9

a2 - a1 = a3 - a2
3 = 3
więc jest to ciąg arytmetyczny

ale żeby się nikt nie przyczepił to można jeszcze sprawdzić dla wszystkich n
an = 2n + n^2 / n = 2n + n = 3n
an+1 = 2(n+1) + (n+1)^2 / (n+1) = 2n + 2 + (n + 1) = 3n + 3
an-1 = 2(n-1) + (n-1)^2 / (n-1) = 2n - 2 + (n - 1) = 3n - 3
an+1 - an = an - an-1
(3n+ 3) - 3n = 3n - (3n - 3)
3 = 3
więc ciąg jest artymetyczny