Question

Miara największego kąta w trójkącie jest dwa razy większa od miary jego najmniejszego kąta. Oblicz długości boków tego trójkąta, jeżeli są one kolejnymi liczbami naturalnymi

Answer 1

α −−− miara kąta najmniejszego, to naprzeciw kąta α leży najkrótszy bok dł. n 2α −− miara kata największego, to naprzeciw niego leży najdłuższy bok dł. n+2 180o −3α −−−leży bok dł. n+1 1/ ze wzoru sinusów

  n   n+2   n+2     = =     sinα   sin2α   2sinα*cosα     n+2   po przekształceniu otrzymujemy: cosα=     2n  

teraz ze wzoru cosinusów

  (n+1)2+ (n+2)2 −n2   cosα=     2*(n+1)*(n+2)  

po wykonaniu działań otrzymasz:

  n2+6n+5   (n+1)(n+5)   n+5   cosα= = =     2(n+1)(n+2)   2(n+1)(n+2)   2(n+2)  

porównując cosinusy

n+5   n+2   =   2(n+2)   2n  

rozwiazujac to równanie otrzymasz n= 4 zatem boki maja długości: 4, 5, 6

Answer 2

Korzystamy z Twierdzenia sinusow i z Twierdzenia cosinusow.

Rozwiazemy nastepujacy uklad rownan:

a- najkrotszy bok

b=a+1

c=a+2 - najdluzszy bok

a=-1∉N

Odp. a=4, b=5, c=6