Question

Liczby k i n są nieparzyste i każda z nich ma tylko 3 dzielniki. Uzasadnij, że różnica tych liczb jest podzielna przez 4.

Answer 1

liczby k i n mają 3 dzielniki czyli  są to kwadraty jakiejś liczby pierwszej(róznej od 2 , bo bierzemiy tylko liczby nieparzyste), np 3²=9 (dzielniki:1,3,9) , 5²=25(dz:1,5,25)

k = a²

n = b²

a² - b²= (a-b)(a+b)  - ze wzoru skróconego mnozenia

Liczby a i b  to liczby  nieparzyste czyli a+b daje l. parzystą  i  a-b  daje l .parzystą

   (dzieli się przez 2)

czyli:

oznaczmy jako  x  - iloraz sumy  a+b przez 2  (x = (a+b)/2 ⇒2x = a+b)

               jako y  - iloraz róznicy a-b przez 2   (y = (a-b)/2 ⇒2y = a-b)

więc:

(a+b)(a-b) = 2x * 2y = 4xy

                

         a liczba 4xy jest podzielna przez 4

Answer 2

Ponieważ liczby mogą mieć trzy dzielniki ,więc każda z nich musi być kwadratem liczby nieparzystej:

k = (2n+1)²

n = (2m+1)²

gdzie:

2n+1, 2m+1  to liczby pierwsze oraz m,n ∈ N

 

k - n = (2n+1)² - (2m+1)² = 4n²+2m+1 -(4m²+2m+1) = 4n²+4n+1-4m²-4m-1 =  

          = 4n²+4n-4m²-4m = 4(n²+n-m²-m) , czyli dzieli się przez 4.