Question

Liczby a, b, 18 sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego, liczby -2.a.b kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. wyznacz a i b

Answer 1

Skorzystamy z własności:
Jeżeli liczby an-1, an, an+1 są trzema kolejnymi wyrazami:
- ciągu geometrycznego, to an² = an-1 * an+1
- ciągu arytmetycznego, to an = an-1 + an+1 / 2

liczby a, b, 18 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli b² = 18a
liczby -2, a, b są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli a = -2 + b / 2

( b² = 18a
( a = -2 + b / 2 /*2

( b² = 18a
( 2a = -2 + b

( b² = 18a
( b = 2a + 2

( (2a + 2)² = 18a
( b = 2a + 2

Rozwiążemy równanie 1 tego układu
(2a + 2)² = 18a
4a² + 8a + 4 - 18a = 0
4a² - 10a + 4 = 0 /:2
2a² - 5a + 2 = 0
Δ = 25 - 16 = 9
√Δ = 3
a₁ = 5 - 3 / 4 = 2 / 4 = ½
a₂ = 5 + 3 / 4 = 8 / 4 = 2

z 2 równania układu otrzymujemy:
a₁ = ½ to b₁ = 2a₁ + 2 = 2*½ + 2 = 1 + 2 = 3
a₂ = 2 to b₂ = 2a₂ + 2 = 2*2 + 2 = 4 + 2 = 6

Odp. Szukane wyrazy tych ciągów to: ½ i 3 oraz 2 i 6.