Question

liczby 3,a,b tworza rosnacy ciag geometryczny. jezeli druga z liczb zwiekszymy o 1, a trzecia zmniejszymy o 1 to otrzymany ciag bedzie ciagiem arytmetycznym. wyznacz ciag arytmetyczny.

odp: 3,7,11

Answer 1

Ciąg geometryczny: 3,a,b

Ciąg arytmetyczny: 3,(a+1),(b-1)

 

b/a = a/3

(b-1)-(a+1) = (a+1)-3

 

b/a = a/3

b-1-a-1 = a+1-3

 

b/a = a/3

b-a-2 = a-2

 

b/a = a/3

b-a-a=-2+2

 

b/a=a/3

b-2a=0

 

b/a=a/3

b=2a

 

2a/a=a/3

b=2a

 

2=a/3     ·3

b=2a

 

a=6

b=12

 

Ciąg arytmetyczny ma postać:

3, (a+1), (b-1)

czyli

3, (6+1), (12-1)

3,7,11

 

Answer 2

Własność ciągu Geometrycznego:

gdzie:

Podstawiając dostajemy pierwsze równanie:

3/a=a/b

a²=3b

 

Własność ciągu arytmetycznego:

gdzie:

Podstawiając:

b-1-(a+1)=a+1-3

b-a-2=a-2

b=2a

 

Czyli należy rozwiązać układ równań:

{b=2a

{a²=3b

{b=2a

{a²=6a  ->  a²-6a=0

Dalej zajmę się równaniem II:

a²-6a=0

a(a-6)=0

a=0   lub   a=6

Odpowiedź a=0 należy odrzucić, ponieważ wtedy i b=0 - czyli zadany ciąg

3,a,b = 3,0,0 nie będize ciągiem geometrycznym.

Czyli a=6

{a=6

{b=12

Ciąg geometryczny: 3, 6, 12

Ciąg arytmetyczny: 3, 7, 11