Question

Liczba całkowita a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat tej liczby pomniejszony o 4 jest podzielny przez 5.

Answer 1

Ponieważ liczba ta przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, możemy ją zapisać jako:

x = a + 3

gdzie: x - omawiana liczba, a - składnik podzielny przez 5

Kwadrat tej liczby to:

x² = (a+3)² = a² + 6a + 9

Kwadrat tej liczby pomniejszony o 4, to:

x² - 4 = a² + 6a + 9 - 4 = a² + 6a + 5

Pozostaje udowodnić, że liczba a² + 6a + 5, jest podzielna przez 5.

Ponieważ jako a, przyjęliśmy składnik początkowej liczby podzielny przez 5, zatem wszystkie jej wielokrotności i potęgi (całkowite) są podzielne przez 5.
Podzielne przez pięć są zatem zarówno a² jak i 6a. Podzielności wyrazu wolnego 5 przez 5, ze względów oczywistych udowadniać nie trzeba. Co kończy dowód.