Question

Kulę o promieniu R naładowano jednorodnie ładunkiem Q. Obliczyć jak zmienia się natężenie i potencjał wewnątrz kuli i poza jej promieniem. Czy sytuacja będzie inna jeśli będziemy mieli naładowaną sferę?

Answer 1

Wskazane byłoby wykorzystanie tutaj prawa Gaussa.
Zgodnie z nim, strumień pola elektrycznego wynosi:  Φ = q/εo , gdzie q jest ładunkiem zawartym wewnątrz zamkniętej powierzchni.
W naszym przypadku jest to strumień pola przenikający przez powierzchnię sfery o promieniu r , otaczającej pewien obszar przestrzeni:
Φ = E·S = E·4·π·r²

a)  dla r ≤ R  (czyli wewnątrz naładowanej kuli)
E·4·π·r² = q/εo            q = (Q/Obj)·Obj' = Q·r³/R³
E·4·π·r² = (Q·r³/R³)/εo
E = (1/(4·π·εo))·Q·r/R³ = k·Q·r/R³  ~  r

b)  dla r > R  (czyli na zewnątrz naładowanej kuli)
E·4·π·r² = Q/εo
E·4·π·r² = Q/εo
E = (1/(4·π·εo))·Q/r² = k·Q/r²   ~   1/r²

Dodatkowo gdyby kula była z dielektryka o względnej przenikalności εr  , to dla r = R (na powierzchni kuli) wykres E = f(r)  będzie miał skok wartości.


Jeśli zaś chodzi o potencjał pola to nie obędzie się bez wykorzystania całek:


Wewnątrz kuli:


Na zewnątrz kuli:


-----------------------------------------------------------------------------------------
W przypadku naładowanej sfery, albo mówiąc inaczej kuli naładowanej powierzchniowo, rozkład pola wewnątrz będzie inny.
Wynika to z tego, że wewnątrz kuli nie ma żadnego ładunku - patrz rysunki po prawej.
Powierzchniowo ładują się zwykle metalowe przedmioty.