Question

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią boczną ostrosłupa kąt o mierz 45stopni. oblicz objętość tego ostrosłupa.

Answer 1

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią boczną ostrosłupa kąt o mierz 45stopni. oblicz objętość tego ostrosłupa.
a = 6 cm - krawędź podstawy ( trójkąta równobocznego)
b - krawędź boczna
hp = 1/2*a*√3 - wzór na wysokość podstawy( trójkata równobocznego)
H - wysokość ostrosłupa
α = 45° - kąt między krawędzią podstawy a oraz krawędzią boczną b
V = ? - objętość ostrosłupa

1. Obliczam wysokość hp podstawy
hp = 1/2*a*√3
hp = 1/2*6 cm*√3
hp = 3√3 cm

2. Obliczam pole podstawy ( pole trójkąta równobocznego)
Pp = 1/2*a*hp
Pp = 1/2*6cm*3√3 cm
Pp = 9√3 cm²

3. Obliczam krawędź boczną b
z trójkąta prostokatnego, gdzie:
1/2a - przyprostokatna leżąca przy kącie α = 45°
b - przeciwprostokatna
1/2a : b = cos α
1/2*6cm : b = cos 45°
3 cm : b = √2 :2
b = 3*2 : √2
b = 6 : √2
b = ( 6 : √2)*(√2 :√2) usuwam niewymierność mianownika
b = 6√2 : 2
b = 3√2 cm

4. Obliczam wysokość H ostrosłupa
z trójkąta prostokątnego, gdzie:
H - przyprostokątna
2/3hp - przyprostokatna
b - przeciwprostokatna
H² + (2/3hp)² = b²
H² = b² - (2/3*hp)²
H² = (3√2 cm)² - (2/3*3√3 cm)²
H² = 9*2 cm² - 4*3 cm²
H² = 18 cm² - 12 cm²
H² = 6 cm²
H = √(6cm²)
H = √6 cm

5. Obliczam objetość ostrosłupa
V = 1/3*Pp*H
V = 1/3*9√3 cm² *√6 cm
V = 3√3 cm²*√3*√2 cm
V = 3*3*√2 cm³
V = 9√2 cm³

Odp. Objetość ostrosłupa wynosi 9√2 cm³