Krawędź czworościanu foremnego ma długość 8 cm .Wszystkie jego krawędzie powiększono w skali 3 ,a na.... Question from @Arek159159

Czworościan początkowy: a = 8 cm

a² √3

Pc = 4 · ----------- = a² √3 = 8² · √3 = 64 √3 [ cm² ]

Czworościan w skali k₁ = 3 : Pc' = k₁² · Pc = 3² · 64 √3 = 9· 64√3 = 576 √3 [ cm² ]

Czworościan w skali k₂ = 2 : Pc'' = k₂² · Pc' = 2² · 576√3 = 4 · 576√3 = 2304 √3 [cm² ]

Czyli w wyniku obu przekształceń powierzchnia całkowita jest równa 2304√3 cm².

Objętość: a²√3 a² √3

V = ⅓ · Pp · h = ⅓ · ---------- · h = ---------- · h

4 12

Obliczam wysokość h czworościanu korzystając z tw. Pitagorasa.

a√3 8√3

wysokość podstawy = h₁ = ------- = ---------- = 4√3

2 2

h² + (⅔ h₁)² = a²

h² +(⅔ ·4√3)² = 8²

8√3 64 · 3

h² + (--------)² = 64 , h² = 64 - ----------- , h² = 64 - ⁶⁴/₃

3 9

h² = 64 - 21⅓ , h² = 42⅔ 8√6

h = √(¹²⁸/₃) = √(64·2) / √3 = 8√2/ √3 = --------

8² · √3 8√6 64√3 · 8√6 128 √18 128√(9·2) 128·3√2 128√2

V = ----------- · --------- = ------------------- = --------------- = ----------------- = ------------- = ----------- [cm³]

12 3 36 9 9 9 3

128√2

V' = k₁³ · V = 3³ · ---------- = 9 · 128√2 = 1152 √2 [cm³ ]

V'' = k₂³ · V' = 2³ · 1152√2 = 8 · 1152√2 = 9216 √2 [ cm³ ]

Objętość czworościanu po przekształceniach jest równa 9216 √2 cm³.