Question

Jest dany ostrosłup czworoboczny, foremny (no taki zwykły) ABCDV, o boku AB=4cm i wysokości v=6cm. Oblicz kąt zawarty pomiędzy sąsienimi ścianami (czyli np. ABV i BCV)

Answer 1

Kąt między dwoma ścianami to jest kąt między liniami prostopadłymi do krawędzi styku wzdłuż tych ścian. Jeżeli więc poprowadzimy w trójkącie ABV wysokość z punktu A, to otrzymamy na boku BV tego trójkąta punkt, który oznaczmy jako E. Ten sam punkt E otrzymamy prowadząc wysokość w trójkącie BCV z wierzchołka C na bok BV (ponieważ ostrosłup jest foremny). Biorąc teraz punkty ACE otrzymujemy trójkąt równoramienny, w którym boki AE oraz CE są prostopadłe do krawędzi ostrosłupa BV, czyli wspólnej krawędzi ścian ABV oraz BCV oraz są w tych ścianach odpowiednio zawarte. Czyli nasz szukany kąt to właśnie kąt AEC.
Szkic rozwiązania:
1. Na podstawie wysokości v oraz połowy długości boku podstawy z tw. Pitagorasa obliczamy wysokość h jednej ściany (wysokość poprowadzona na bok podstawy).
2. Mając h oraz a możemy obliczyć długość pozostałych boków ściany, czyli |BV| oraz |AV|.
3. Porównując pole ściany (trójkąta ABV) obliczone na dwa różne sposoby:
|AB|*h/2 = |BV|*|AE|/2, stąd po przekształceniach otrzymujemy |AE|, tyle samo wynosić będzie |CE| na ścianie obok.
4. Obliczamy |AC| jako przekątną kwadratu będącego podstawą.
5. Mając w trójkącie równoramiennym AEC wszystkie długości boków możemy obliczyć kąt AEC.