He metido en la lavadora 4 calcetines idénticos negros, 4 calcetines idénticos azules, y 4 calcetines idénticos blancos. Al terminar de lavarlos, los saqué al azar uno a uno de la lavadora y los coloqué en fila sobre una mesa.
Para mi sorpresa, todos los 6 pares de calcetines estaban ordenados en parejas según su color.
¿De cuántas formas se pueden ordenar los 6 pares de calcetines en una fila de manera que queden apareados por color?
Para mi sorpresa, todos los 6 pares de calcetines estaban ordenados en parejas según su color.
¿De cuántas formas se pueden ordenar los 6 pares de calcetines en una fila de manera que queden apareados por color?
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RESPUESTA: 90 FORMAS
Explicación:
Los calcetines negros son 1,
Los calcetines azules son 2,
Los calcetines blancos son 3,
Si la fila de calcetines se encuentra de a pares entonces la primer forma de encontrarlos será:
11 , (11), 22, (22), 33, (33)
Es decir que tengo que saber de cuántas formas distintas puedo ordenar estos 6 pares.
Y la cantidad de de formas que pueden ordenarse 6 elementos distintos será:
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 formas
Pero de todas las formas distintas, veremos que si primero aparece el par 11 y luego aparece el par (11), estas combinaciones son iguales.
es decir:
si aparecen 11 , (11), 22, (22), 33, (33)
será igual a (11) , 11, 22, (22), 33, (33)
O bien otro ejemplo:
si aparecen 33 , 11, 22, (33), 11, (22)
será igual a 33 , (11), 22, (33), 11, (22)
Por lo tanto, de las 720 combinaciones posibles, hay 360 en las que aparece primero 11 y luego (11), mientras que hay otras 360 combinaciones en las que aparece primero (11) y luego 11.
Y como en definitiva el par de calcetines negros 11 es identico al par de calcetines negros (11), entonces solo tenemos 360 combinaciones posibles.
Pero ojo! de éstas 360, la mitad, es decir 180 posibilidades, contienen primero el par azul 22 y luego el (22) y otras 180 combinaciones tienen primero el par azul (22) y luego el 22, por lo que volvemos a concluir de que solamente hay 180 combinaciones útiles, y otras 180 son exactamente iguales, por lo que no debo contarlas.
Pero sucede lo mismo con las blancas!
De las 180 combinaciones útiles, hay 90 en las que primero apareció el par blanco 33 y luego el (33), existiendo otras 90 combinaciones idénticas, donde se repiten el orden de colores, pero primero apareció el par blanco (33) y luego el 33.
Por lo que debemos descartar 90 combinaciones.
Y finalmente concluimos que de este conjunto de calcetines de 6 pares y solo 3 colores distintos, en donde los del mismo color deben suponerse como idénticos, obtendremos realmente 90 combinaciones de orden de colores diferentes.