Question

1.Oblicz największą wartość funkcji f określonej wzorem f(x)= -x^2+2x+6 w przedziale <-1,3>

2. Dane są proste o równaniach l: 4x+2y-5=0, u:mx+3y+1=0. Wyznacz parametr m tak, aby te proste były prostopadłe

3. Dwa samochody wyruszyły z miast A i B, oddalonych od siebie o 720 km. Samochód jadący z miasta A wyjechał o godzinę wcześniej i jechał 12km/h wolniej od samochodu,który wyruszył z miasta B. Samochody minęły się w połowie drogi. Oblicz ich prędkość

Answer 1

1.

f(-1)= -(-1)²+2(-1)+6=-1-2+6=3

f(3)= - 3²+2·3+6= -9 +6+6= 3

xw= -b/2a= -2/2(-1)= 1∈<-1,3>

f(1)= -1+2+6= 7

najwk wartość to 7 dla x=1

 

2.

proste prostopadłe współ kierunkowy przeciwny i odwrotny

l: 2y=-4x+5

    y= -2x +2,5

a= -2

u:  3y= -mx-1

      y= -⅓mx-⅓

a₁= - ⅓m

a₁=½

-⅓m=½  /:(-⅓)

m= - 3/2

 

3.

s=v·t

z A

360=(v-12)·(t+1)      wolniej i dłużej

z B

360=v·t

v=360/t

 

360=(360/t - 12)(t+1)

360=360+360/t -12t -12            redukcja do zera

 

0=360/t -12t -12  /·t

0=360 - 12t²-12t   /:12

-t² - t +30=0

Δ=1 - 4·(-1)·30=1+120=121

√Δ=11

t₁= -6  nie spełnia warunków zad czas

t₂=5   

 

v=360/t= 360/5 km/h=72 km/h

odp prędkość samochodów to 60 km/h i 72 km/h

Answer 2

1)   f(x) = -x² + 2x + 6,                        < -1, 3>

      Najpierw należy sprawdzić, czy pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do danego przedziału.

    p = -b/2a = -2/ -2 = 1 ∈ < -1, 3>

   Ponieważ wykresem danej funkcji jest parabola skierowana ramionami w dół, zatem wartość

   największą funkcja osiąga w wierzchołku. Wystarczy zatem obliczyć drugąwspółrzędną

   wierzchołka, która będzie wartością największą.

 W(p,q),   q = f(p) = f(1) = -1² +2·1+6 = -1 +2 +6 = 7

  Odp.  y max = 7  dla x = 1.

2)  l :   4x +2y -5 =0               u:  mx +3y +1 =0             Obie proste doprowadzamy do postaci

           2y = -4x + 5                       3y = -mx -1                                              kierunkowej:  y = ax+b

             y = -2x + 2½                      y = - ⅓mx - ⅓

       Proste są prostopadłe, gdy spełniony jest warunek:    al ·  au= -1.

       Czyli:    -2 · (-⅓m) = -1

                     ⅔m = -1     /:⅔

                      m = -1 · ³/₂ =- ³/₂

      Odp.  Proste  l  i  u  są prostopadłe  dla  m = - ³/₂ .

 

3)    Odległość między miastami = 720 km.

       Spotkali się w połowie drogi, czyli każdy samochód przejechał  360 km.

       Proponuję zestawienie danych w następującej tabeli, ułatwiającej ułożenie układu

       równań:

                                                            samochód  z A         I       samochód  z  B

           -------------------------------I -----------------------------------I-------------------------------------

          prędkość  [ km/h]          I              V - 12                     I              V

          

          droga  [ km ]                  I                 360                      I             360

            

           czas  [ h ]                       I                t + 1                      I               t

 

       Z każdej kolumny tabeli mamy jedno równanie, podstawiajżc do wzoru :   S = v · t .

                         {  (v - 12 )( t + 1) = 360

                         {   v · t = 360          ⇒   t = 360/ v

        Wyznaczone t podstawiamy do pierwszego równania:

           ( v - 12) ( 360/v + 1) = 360

           360 + v - 4320/ v - 12 - 360 = 0

            v - 4320/v - 12 = 0          /·v

            v² -4320 - 12v = 0    

             v² -12v -4320 = 0

            Δ = 144 + 4·4320 = 144 +17280 = 17424,       √Δ= 132

          v₁ = (12 -132)/ 2 = -120/2 = -60     - sprzeczne z treścią

          v₂ = (12 +132)/2 = 144/2 = 72

     Czyli   v = 72,      v -12 = 72 -12 = 60

     Odp.  Samochód jadący z miasta A miał prędkość  60 km/h,  a samochód jadący

                 z miasta B miał prędkość   72 km/h.