Question

Grając w lotka możesz wylosowac 6 liczb z 49. Ile jest możliwych wyników?

Przykładowe zadanie z kombinatoryki. Nie rozumiem dlaczego nie można wyliczyć tego z wariacji bez powtórzeń, ale trzeba z kombinacji? Jaka jest różnica między ciągiem, a zbiorem oraz kombinacją, a wariacją bez powtrzeń? (tylko nie poszcie, że inny wzór mają, bo mnie trafi!)

Answer 1

Z 49 chcesz wylosować szóstkę. Zatem 
( 49)        49!       43! ·44·45·46·47·48·49        44·45·46·47·48·49
(  6 )  =  -------  = --------------------------------  =  --------------------------- = 13 983 816 możliwości
               6!43!          720 · 43!                                           720                        <ok. 14 mln>

Gdy z ileś liczb chcesz wylosować kilka w dowolnej kolejności to 
( n )       n!
(    )  = ------------ 
( k )      k! · (n-k)!
 
Pozdrawiam :) 

Answer 2

1, ciag (czyli ważna jest kolejnosc) to wariacja, a podzbior (czyli kolejnosc nie jest wazna) to kombinacja

 

2. Zbiór to taki zestaw elementów niepowtarzających się i bez porządku.
Np x={a,b,c}
Ciąg natomiast to funkcja, która liczbom naturalnym przyporządkowuje elementy ze zbioru X.
Np. I={1,2,3....}

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Określanie szansy wygranej w grach liczbowych sprowadza się do obliczenia „kombinacji bez powtórzeń” ilości liczb skreślanych z ilości liczb, z których się wybiera.

 

Ilość kombinacji bez powtórzeń określona jest wzorem:

 

n! / (k! * (n-k)!)

 

gdzie:

 

! – jest oznaczeniem silni (wyrażenie arytmetyczne oznaczające iloczyn liczb od 1 do liczby oznaczonej znakiem !, np.: 3! = 1*2*3 = 6)

 

n – ilość liczb z których się wybiera

 

k – ilość liczb wybieranych

 

Przykład:

 

Obliczyć szansę trafienia sześciu liczb w dużego lotka (przy skreśleniu sześciu liczb w jednym zakładzie).

 

n = 49

 

k = 6

 

ilość kombinacji = 49! / (6! * (49 – 6)!) = 49! / (6! * 43!) =

skracamy licznik i mianownik przez 43!

 = (44*45*46*47*48*49) / (1*2*3*4*5*6) = 13 983 816

 

Szansa wygranej jak 1 z 13 983 816.

 

INTERPRETACJA WYBORU ZESTAWU „k = 6” LICZB ZE ZBIORU „n = 49” LICZB (BEZ POWTÓRZEŃ)

 

Dla losowania sześciu liczb ze zbioru czterdziestu dziewięciu (tak jak ma to miejsce w dużym lotku) podaje się następującą interpretację obliczenia ilości możliwych zestawów sześcioliczbowych:

 - pierwsza liczba jest losowana z 49 liczb – zatem może wystąpić 49 różnych wyników (49 możliwości)

 - druga liczba jest losowana z 48 liczb – zatem może wystąpić 48 różnych wyników dla drugiej liczby (48 możliwości)

 - trzecia liczba jest losowana z 47 liczb – zatem może wystąpić 47 różnych wyników dla trzeciej liczby (47 możliwości)

 

..........

 

W związku z powyższym całkowita ilość możliwości wylosowania zestawu sześciu liczb wynosi: 49*48*47*46*45*44 = 10 068 347 520

 

W wyniku obliczonym wyżej zawiera się zarówno zestaw (w kolejności losowania): 2, 12, 23, 24,25, 30 jak i zestaw 12, 2, 23, 24,25, 30 co stanowi taki sam zestaw liczb w rozumieniu wyników losowania dużego lotka.

 

Aby obliczyć ilość zestawów „bez powtórzeń” należy powyższy wynik podzielić przez ilość możliwych ustawień (w kolejności losowania) tej samej grupy sześciu liczb. Pierwsza liczba może wystąpić na sześciu pozycjach, druga na pięciu, trzecia na czterech, ....., w efekcie ilość możliwych ustawień sześciu liczb wynosi: 6*5*4*3*2*1 = 720

 

Ostateczny wynik (ilość kombinacji bez powtórzeń): 10 068 347 520 / 720 = 13 983 816

 

Podkreślony tekst powinien wyjaśnić Ci, dlaczego trzeba użyć kombinatoryki.

Mam nadzieję, że o to chodziło :))