Question

Geometria analityczna.
Punkty A(0, -5) oraz D(-3, -1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta k: x + 2y = 0. Oblicz:
a) współrzędne wierzchołków B i C
b) pole tego trapezu

Chodzi mi o obliczenia, jak dojść do poprawnej odpowiedzi.

Answer 1

Najpierw policzymy równanie prostej AD:
y = ax + b, A = (0, - 5), D = (- 3, - 1)
- 5 = a*0 + b => b = - 5
- 1 = - 3a - 5 => a = - 2/3
y = - 2x/3 - 5

oś symetrii:
x + 2y = 0
y = - x/2
ponieważ (- 1/2)*(- 2/3) = 1/3 ≠ 1, więc prosta zawierająca wierzchołki A i D nie jest prostopadła to osi symetrii, stąd AD to ramię ABCD

czyli C to odbicie D symetrycznie do osi
a B to odbicie A

napiszemy równanie na prostą CD (prostopadłą do osi):
y = ax + b
y = 2x + b (bo prostopadła do osi)
- 1 = - 3*2 + b => b = 5
y = 2x + 5

Teraz znajdziemy jej punkt przecięcia z osią:
y = 2x + 5
y = - x/2
x = - 2, y = 1
S = (- 2, 1)

Teraz
|DS| = √[(- 2 + 3)² + (1 - (- 1))²] = √5
√5 = |CS| = √[(x + 2)² + (2x + 5 - 1)²] = √[(x + 2)² + 4(x + 2)²] =|x + 2|√5
|x + 2| = 1
x = - 3 ∨ x = - 1
C = (- 1, 3) - drugi wynik to punkt D

napiszemy równanie na prostą AB (prostopadłą do osi):
y = ax + b
y = 2x + b (bo prostopadła do osi)
- 5 = - 3*0 + b => b = - 5
y = 2x - 5

Teraz znajdziemy jej punkt przecięcia z osią:
y = 2x - 5
y = - x/2
x = 2, y = - 1
O = (2, - 1)

Teraz
|AO| = √[(0 - 2)² + (- 5 - (- 1))²] = √20 = 2√5
2√5 = |BO| = √[(x - 2)² + (2x - 5 - (- 1))²] = √[(x + 2)² + 4(x - 2)²] = |x - 2|√5
|x + 2| = 2
x = 0 ∨ x = - 4
B = (- 4, - 13) - drugi wynik to punkt A

b)
P = (a + b)h/2
a = 2|DS| = 2√5
b = 2|AO| = 4√5
h = |SO| = √[(2 - (- 2))² + (- 1 - 1)²] = √17
P = (2√5 + 4√5)√17/2 = 3√85

jak masz pytania to pisz na pw