Question

Geometria analityczna.
Dane są punkty A(-1, 1), B(5, -1).
a) Podaj równanie symetralnej odcinka AB
b) Na symetralnej odcinka AB znajdź punkt C, dla którego pole trójkąta ABC wynosi 30.
c) Dla wyznaczonego wierzchołka C w punkcie b) oblicz obwód trójkąta ABC

Podaję odpowiedzi - chodzi mi o NAPISANIE OBLICZEŃ jak dojść do poprawnej odpowiedzi..
odpowiedzi bardziej w celu by odpowiadający mógł sprawdzić.
a) 3x - y - 6 = 0
b) C₁(5, 9), C₂(-1, -9)
c) 2(10 + √10)

Answer 1

A)
Najpierw wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez A i B:
y = ax + b, A(-1, 1), B(5, -1)
1 = - a + b
- 1 = 5a + b
po odjęciu stronami:
2 = - 6a => a = - 1/3
b = 1 + a = 2/3

y = - x/3 + 2/3
prosta prostopadła do niej będzie miała wzór ogólny:
y = 3x + c
Musi ona przechodzić przez środek odcinka AB:
S = ([- 1 + 5]/2; [1 + (- 1)]/2) = (2, 0)
0 = 2*3 + c
c = - 6

ostatecznie:
y = 3x - 6

b)
liczymy długość postawy:
|AB| = √[(- 1 - 5)² + (1 - (- 1))²] = √(36 + 4) = √40 = 2√10
P = h*|AB|/2 = h√10
30 = h√10
|SC| = h = 30/√10 = 3√10
C = (x, 3x - 6)
S = (2, 0)

3√10 = |SC| = √[(x - 2)² + (3x - 6 - 0)²] = √[(x - 2)² + 9(x - 2)²] = √[10(x - 2)²] = |x - 2|√10
3√10 = |x - 2|√10
|x - 2| = 3
x = 5 ∨ x = - 1

C = (x, 3x - 6)
C = (5, 9) ∨ C = (- 1, - 9)
Dwa wyniki, są to dwa punkty leżące po dwóch stronach AB, w tej samej odległości od S.

c)
Dany trójkąt jest równoramienny (bo trzeci wierzchołek C leży na symetralnej przeciwległego boku), oczywiście dla różnych C wynik będzie ten sam (ale policzę w obu przypadkach):
|AB| = 2√10

C = (5, 9)
|BC| = |AC| = √[(- 1 - 5)² + (1 - 9)²] = √(36 + 64) = √100 = 10

C = (- 1, - 9)
|BC| = |AC| = √[(- 1 - (- 1))² + (1 - (- 9))²] = √(0 + 100) = 10

D = 2*10 + 2√10 = 2(10 + √10)
jak masz pytania to pisz na pw