Question

Geometria analityczna 1.Dane są proste o równaniach l : y=2x-4 i k: y= -x+5. Wykaż,że punkt przecięcia tych prostych należy do okręgu o środku S (2,1) i promieniu r=pierwiastek z 2

2.Dla jakich wartości parametru p proste o równaniach l : 3x-y+4=0 i k : (2p+4) x-y+1=0 są prostopadłe?

3.Dane są wierzchołki trójkąta : A= (-3,-3) B=(6,6) C=(1,7) wyznacz dł wysokości trójkąta ABC opuszczonej z wierzchołka C

Answer 1

z.1

l : y = 2 x - 4

k : y = - x + 5

oraz  S = (2; 1)  ;  r = p(2)

Mamy

2x - 4 = - x + 5

3 x = 5 + 4 = 9  / : 3

x = 3

====

y = 2*3 - 4 = 2

===============

P = ( 3; 2)  - punkt przecięcia się danych prostych.

Równanie okręgu:

( x-2)^2 + ( y - 1)^2 = [ p(2)]^2

czyli

( x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 2

========================

Sprawdzam, czy punkt P należy do okręgu:

( 3 - 2)^2 + ( 2 -1)^2 = 2

1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2

Ten punkt leży na danym okręgu.

===============================

z.2

l : 3x - y + 4 = 0

k: (2p +4) x - y + 1 = 0

czyli w postaci kierunkowej:

y = 3 x + 4

y = ( 2p +4)x  + 1

---------------------

Aby proste były prostopadłe iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być

równy (-1) , czyli

3*(2p + 4) = - 1

6 p + 12 = - 1

6 p = - 13 / : 6

p = - 13/6 = - 2  1/6

======================

z.3

A = ( -3; -3), B = (6; 6), C = (1; 7)

Wyznaczam równanie pr AB:

 y = a x + b

-3 = - 3 a + b

6 = 6a + b

------------------  odejmuję stronami

6 - (-3) = 6a - (-3a)

9 = 9 a

a = 1

======

b = 6 - 6a = 6 - 6*1 = 0

========================

y = x

a w postaci ogólnej:

x - y = 0

==============

A = 1 , B = -1 , C = 0

Korzystam z wzoru na odległośc punktu od prostej:

d = I A x0 + B y0 + C I / p ( A^2 + B^2)

czyli

d = I 1*1 + (-1)*7 + 0 I / p( 1^2 + (-1)^2 )

d = I - 6 I / p( 2) = 6 / p(2) =  3 p(2)

Odp. d = 3 p(2)

=================