Question

funkcja f(x)=sgn x jest okreslona wzoreem:

a) podaj wzor funkcji g(x)=f(x³-3x²-4x+12)

b) wykaz ze funkcja h(x)=f(x²+x+1) jeest funkcja stala

prosze o bardzo dokladne rozpisanie i wyjasnienie

Answer 1

f(x) = sgn x

okreslona wzorem:

1   dla    x > 0

0   dla    x = 0

-1  dla   x < 0

===============

a)

g(x) = f( x^3 - 3 x^2 - 4 x + 12 )

Niech

z = x^3 - 3 x^2 - 4 x + 12

z = x^2 *(x - 3) - 4*(x - 3) = (x^2 - 4)*(x - 3)

z = (x + 2)*(x - 2)*( x - 3)

Miejsca zerowe: x1 = -2, x2 =  2,  x3 = 3

ponieważ  dla x = - 3  mamy  z = ( - 3 +2)*(-3 -2)*(-3 - 3) = -1*(-5)*(-6) =  -30 <  0

zatem

z < 0  dla   x należącego do   A = ( -oo; - 2 ) u ( 2 ; 3)

z > 0  dla   x należącego do   B = ( - 2 ; 2)  u  (3 ; + oo )

Mamy więc

g( x) = f(z) =

-1   dla   x  należącego do A

 0   dla   x  należącego do { -2; 2 ; 3 }

 1   dla   x  należącego do B

=============================

b)

h(x) = f( x^2 + x + 1 )

Niech   z = x^2 + x + 1

delta = 1^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = - 3 < 0

a = 1 > 0   i  delta < 0 , zatem  funkcja  z = x^2 + x + 1  przyjmuje tylko wartości

dodatnie, więc

h(x) = f( x^2 + x + 1 ) = 1    =>  h  jest funkcją  stałą.

=====================================================