Question

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=ax²+bx+1. Znajdź współczynniki a i b wiedząc, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość f(x-2)=f(x)-4x-2

Answer 1

F(x-2)=a(x-2)²+b(x-2)+1=
=a(x²-4x+4)+bx -2b+1=
=ax²-4ax+bx+4a-2b+1=
=ax²+(b-4a)x+(4a-2b+1)
Z warunku zadania mamy także:
f(x-2)=f(x)-4x-2 =
=ax²+bx+1-4x-2=
=ax²+(b-4)x-1
Porównując stronami otrzymujemy:
ax²+(b-4a)x+(4a-2b+1)=x²+(b-4)x-1
porównujemy wartości przy odpowiednich potęgach x:
b-4a=b-4 stąd a =1
4a-2b+1=-1 wstawiamy a=1 stąd
4-2b=-2
-2b=-6 b=3 zatem f(x)=x²+3x+1 (a=1; b=3)