Question

Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez x+3 jest równa 16. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba 5. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez (x+3)(x-5)

Answer 1

Zgodnie z twierdzeniem o reszcie jeśli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x+3 jest równa 16, to W(-3)=16

 

Skoro pierwiastkiem wielomianu jest liczba 5, to W(5)=0

 

P(x)=(x+3)(x-5), jego stopień to 2

Zatem reszta z dzielenia W(x) przez P(x) jest wielomianem stopnia mniejszego niż 2 lub jest wielomianem zerowym. Więc reszta ma postać:

R(x)=ax+b

Zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu wielomianów z resztą istnieje taki wielomian Q(x), że W(x)=P(x)*Q(x)+R(x)

W(x)=(x+3)(x-5)*Q(x)+ax+b

 

Teraz wykorzystamy to, co ustaliliśmy na początku:

W(-3)=(-3+3)(-3-5)*Q(x)-3a+b=16

W(5)=(5-3)(5-5)*Q(x)+5a+b=0

 

I powstał układ równań:

0*Q(x)-3a+b=16

0*Q(x)+5a+b=0

 

-3a+b=16/*(-1)

5a+b=0

 

3a-b=-16

5a+b=0

 

8a=-16

5a+b=0

 

a=-2

b=10

 

R(x)=ax+b=-2x+10