Zbadać monotobniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x)=√│x-1│/e^x
Paawełek
Najpierw rozpiszę sobie to w ten sposób: Zadanie wykonam w dwóch przedziałach. Pierwszy przedział to x>1. wówczas |x-1| = x-1 i mamy funkcję: wyznaczam pochodną funkcji korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu: (uv) ' = u' v + uv'
Teraz funkcja nam będzie rosnęła gdy f ' (x) > 0 więc sprawdzam jaki to przedział:
Zatem ona rośnie gdy x<3/2 ale uprzednio powiedziałem że x>1 zatem rośnie w przedziale 1 < x < 3/2 maleje w pozostałym przedziale a więc dla x>3/2 W punkcie x=3/2 zmienia monotoniczność z rosnącej w malejącą więc tutaj ma maksimum lokalne. Ten pogrubiony tekst zapamiętajmy, zestawimy go na końcu rozwiązania :)
Teraz patrzymy co się dzieje gdy x<1 (wtedy |x-1| = 1-x). Mamy:
Znowu patrzę kiedy jest rosnąca. Gdy f ' (x) > 0 :
ale to w ogóle nie należy do przedziału który rozpatrzamy, więc odrzucam
stąd f '(x) <0 gdy x<3/2 oraz nakładając przedział x<1 mamy że jest malejąca dla x<1
Zestawiam tę informację z tamtymi pogrubionymi i najpierw monotoniczność:
Ta informacja nasunęła nam kolejne ekstremum - w punkcie x=1. Tutaj funkcja zmienia się z malejącej w rosnącą więc jest to minimum. Więc teraz ekstrema:
Zadanie wykonam w dwóch przedziałach. Pierwszy przedział to x>1.
wówczas |x-1| = x-1 i mamy funkcję:
wyznaczam pochodną funkcji korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu:
(uv) ' = u' v + uv'
Teraz funkcja nam będzie rosnęła gdy f ' (x) > 0 więc sprawdzam jaki to przedział:
Zatem ona rośnie gdy x<3/2 ale uprzednio powiedziałem że x>1 zatem rośnie w przedziale 1 < x < 3/2
maleje w pozostałym przedziale a więc dla x>3/2
W punkcie x=3/2 zmienia monotoniczność z rosnącej w malejącą więc tutaj ma maksimum lokalne.
Ten pogrubiony tekst zapamiętajmy, zestawimy go na końcu rozwiązania :)
Teraz patrzymy co się dzieje gdy x<1 (wtedy |x-1| = 1-x). Mamy:
Znowu patrzę kiedy jest rosnąca. Gdy f ' (x) > 0 :
ale to w ogóle nie należy do przedziału który rozpatrzamy, więc odrzucam
stąd f '(x) <0 gdy x<3/2 oraz nakładając przedział x<1 mamy że jest malejąca dla x<1
Zestawiam tę informację z tamtymi pogrubionymi i najpierw monotoniczność:
Ta informacja nasunęła nam kolejne ekstremum - w punkcie x=1. Tutaj funkcja zmienia się z malejącej w rosnącą więc jest to minimum.
Więc teraz ekstrema: