Dwa boki trójkąta mają długości 7 i 24. Jaką długość powinien mieć trzeci bok tego trójkąta aby jego.... Question from @LirkaLirka

December 2018 1 64 Report

Dwa boki trójkąta mają długości 7 i 24. Jaką długość powinien mieć trzeci bok tego trójkąta aby jego pole było możliwie jak największe?

dominnio Najpierw obliczmy jaką długość ma trzeci bok (oznaczam go c) w zależności od kąta pomiędzy bokami 7 i 24.
Z twierdzenia cosinusów:
$c^2=7^2+24^2-2\cdot 7\cdot 24\cdot cos \alpha$
Na razie zostawmy to tak jak jest.

Pole trójkąta, możemy policzyć ze wzoru, który wykorzystuje dwa sąsiednie boki i kąt pomiędzy nimi.
$P= \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24\cdot sin \alpha$

Doskonale się składa, ponieważ w obu wzorach mamy ten sam kąt.
Zobaczmy co da się z tym zrobić:
$2\cdot 7\cdot 24\cdot cos \alpha=7^2+24^2-c^2 \\\\
cos \alpha = \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24} \\\\
cos^2 \alpha =( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2\\\\
Z\ jedynki\ trygonometrycznej:\\
sin^2 \alpha =1-cos^2 \alpha \\
sin^2 \alpha =1-( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2\\
sin \alpha = \sqrt{1-( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2} \ \ \vee\ \ \sin \alpha =- \sqrt{1-( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2}$

$P= \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24\cdot sin \alpha= \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24\cdot \sqrt{1-( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2}$

Szukamy maksimum tej funkcji i moglibyśmy liczyć pochodną, ale prędzej bym umarł niż to policzył. Da przecież zauważyć, że ta funkcja przyjmuje maksimum gdy sinus jest największy zatem:
$P_{max}= \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24\cdot (sin \alpha)_{max}\\\\\
(sin \alpha )_{max}=1\\\\
1=\sqrt{1-( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2}\\\\\
( \frac{7^2+24^2-c^2}{2\cdot 7\cdot 24})^2=0\\\\
 7^2+24^2-c^2=0\\
c^2=625\\
\boxed{c=25}$