Drut o długości 100 m podzielono na 3 części, z których wykonano kolejno sześcian, czworościan forem.... Question from @Undead22

December 2018 1 52 Report

Drut o długości 100 m podzielono na 3 części, z których wykonano kolejno sześcian, czworościan foremny oraz graniastosłup prawidłowy sześciokątny o wysokości równej 2 m. Na jakie 3 części musiałby zostać podzielony drut, aby suma pól powierzchni całkowitych otrzymanych brył była największa?

MrPolygon Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez x, długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez y, zaś długość krawędzi czworościanu przez z. Ze stumetrowego drutu robimy szkielety modeli tych brył, więc suma wszystkich krawędzi jest równa 100:

$12x+12y+12+6z=100\\\\z=\frac{44}{3}-2x-2y$

Suma pól powierzchni takich brył wyraża się następująco:

$P=6x^2+6\cdot2y+2\cdot6\cdot\dfrac{y^2\sqrt{3}}{4}+4\cdot\dfrac{z^2\sqrt{3}}{4}\\\\{}\\P=6x^2+12y+3y^2\sqrt{3}+(\frac{44}{3}-2x-2y)^2\cdot\sqrt{3}$

Suma pól jest więc funkcją dwóch zmiennych, należy znaleźć jej ekstrema:

$\underline{f(x,y)=6x^2+12y+3y^2\sqrt{3}+(\frac{44}{3}-2x-2y)^2\cdot\sqrt{3}}$

Zrobimy to "techniką klasyczną". Najpierw liczymy pochodne cząstkowe, czyli pochodną po iksie i po igreku z powyższego wyrażenia:

$f_x'=12x-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y)\\\\f_y'=12+6y\sqrt{3}-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y)$

Każdą z nich przyrównujemy do zera (podobnie jak przy szukaniu ekstremum funkcji jednej zmiennej) i rozwiązujemy otrzymany układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}12x-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y)=0\\{}\\12+6y\sqrt{3}-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y)=0\end{array}\right.$

Jest to na szczęście układ równań liniowych, więc po rozwiązaniu (które w tym przypadku nie jest skomplikowane, choć może nieco czasochłonne) otrzymujemy:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{284\sqrt{3}-180}{111}\\\\y=\frac{568-194\sqrt{3}}{111}\end{array}\right.$

Punkt o współrzędnych
$\left(\dfrac{284\sqrt{3}-180}{111},\;\dfrac{568-194\sqrt{3}}{111}\right)$
jest jedynym punktem "podejrzanym o ekstremum". Żeby sprawdzić, czy faktycznie ekstremum tam występuje, liczymy pochodne drugiego rzędu (czyli uzyskane wcześniej pochodne cząstkowe $f_x',f_y'$ znów różniczkujemy po iksie i po igreku):

$f_{xx}''=(f_x')_x'=(12x-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y))_x'=8\sqrt{3}+12\\\\f_{xy}''=(f_x')_y'=(12x-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y))_y'=8\sqrt{3}\\\\f_{yx}''=(f_y')_x'=(12+6y\sqrt{3}-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y))_x'=8\sqrt{3}\\\\f_{yy}''=(f_y')_y'=(12+6y\sqrt{3}-4\sqrt{3}\cdot(\frac{44}{3}-2x-2y))_y'=14\sqrt{3}$

Z pochodnych drugiego rzędu tworzymy następujący wyznacznik:

$W=\left|\begin{array}{cc}f_{xx}''&f_{xy}''\\f_{yx}''&f_{yy}''\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}8\sqrt{3}+12&}8\sqrt{3}\\8\sqrt{3}&}14\sqrt{3}\end{array}\right|=168\sqrt{3}+144$

(gdyby w tym wyznaczniku pojawiły się jeszcze jakieś iksy lub igreki, to w ich miejsce należałoby oczywiście wstawić współrzędne uzyskanego wcześniej punktu)

Mamy $W>0$ , co oznacza, że we wskazanym punkcie jest ekstremum. Gdyby wyszło, że $W<0$ , to wtedy nie byłoby ekstremum, zaś dla $W=0$ nie mamy co do ekstremum pewności.

Aby sprawdzić, czy jest to minimum, czy maksimum, bierzemy $f_{xx}''$ . Mamy $f_{xx}''=8\sqrt{3}+12>0$ , więc jest to minimum. Byłoby to maksimum dla $f_{xx}''<0$ .

Wniosek: suma pól powierzchni tych brył będzie najmniejsza, gdy krawędź sześcianu będzie miała długość $x=\dfrac{284\sqrt{3}-180}{111}$ , zaś krawędź podstawy graniastosłupa długość $y=\dfrac{568-194\sqrt{3}}{111}$ .

Skoro jednak chodzi o pole NAJWIĘKSZE, to należałoby poszukać maksimum na brzegu dozwolonego obszaru. Z treści zadania oczywiście mamy:

$x\geqslant0\\y\geqslant0\\z\geqslant0\\z=\frac{44}{3}-2x-2y$

To oznacza, że

$x\geqslant0\\y\geqslant0\\\frac{44}{3}-2x-2y\geqslant0\\\\x\geqslant0\\y\geqslant0\\y\leqslant\frac{22}{3}-x$

Zatem naszym obszarem jest trójkąt ograniczony prostymi
$x=0\\y=0\\y=\frac{22}{3}-x$
a jego brzeg tworzą trzy odcinki o końcach w punktach przecięcia tych prostych: $(0,0),(0,\frac{22}{3}),(\frac{22}{3},0)$ .

Stąd pole powierzchni będzie największe, gdy jedna lub dwie bryły zostaną zdegenerowane do punktu - czyli ich krawędzie osiągną długość równą zero - a nie o to raczej w zadaniu chodzi. Dlatego wypada stwierdzić, że suma pól trzech brył może być najmniejsza, ale nie może być największa (gdyż wtedy dwie bryły "znikną", a trzecie przejmie na siebie całą powierzchnię).

3 votes Thanks 1