Question

Drut długości 100cm podzielono na dwie części z jednej zbudowano kwadratową ramkę, a z drugiej okrąg. Jaka powinna być długość każdej części aby suma pól figur ograniczonych drutem była najmniejsza?

Answer 1

Musisz zapisać pole za pomocą obwodu. Dla kwadratu będzie to:
P = a²
Obw = 4a
czyli:
P = (¼*Obw)²

A dla okręgu:
P = πr²
Obw = 2πr => z tego r = Obw/2π
więc pole równa się:
P = ½*Obw*Obw/2π
P = ½*Obw²/2π

Obwód kwadratu oznaczmy jako x, a obwód okręgu jako y.
Suma pól figur równa się:
(¼*x)² + ½*y²/2π
Wiemy, że drut ma 100cm długości, więc jedną z niewiadomych można zapisać jako 100 minus druga niewiadoma:
y = 100-x
Podstawiamy:
(¼*x)² + ½*(100-x)²/2π
Teraz trzeba to trochę poprzekształcać:
1/16x² + ½*(10000 - 200x + x²)/2π
1/16x² + (5000 - 100x + ½x²) /2π
1/8πx² + 5000 - 100x + ½x²
x²(1/8π + ½)- 100x + 5000

Zapisujemy to teraz jak funkcję:
f(x) = x²(1/8π + ½)- 100x + 5000
Wykres tej funkcji to parabola ramionami skierowana w górę, więc najmniejszą wartość przyjmuje dla x wierzchołka. Wystarczy więc teraz policzyć pierwszą współrzędną wierzchołka i mamy wynik
x = -b/2a
x = 100 / 2*(1/8π + ½)
x = 100 / (1/4π + 1)
x = 100 / ((π+4)/4)
x = 400 / (π+4)
Można podać jedynie przybliżony wynik, ponieważ mamy liczbę pi:
x = 56 cm

W takim razie y = 100 - 56 = 44 cm

Odp. Drut powinien być podzielony na kawałki o długości 56 cm i 44 cm