Dla obwodu z rys. 7.1. dobrać wartość rezystancji R2 w taki sposób, aby zwarcie wyłącznika W nie spo.... Question from @Eklerbase

December 2018 1 60 Report

Dla obwodu z rys. 7.1. dobrać wartość rezystancji R2 w taki sposób, aby zwarcie wyłącznika W nie spowodowało zmiany wartości natężenia prądu I3. Dane: E1 = 2 V, E2 = 2 V, R1 = 3 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 6 Ω

aczo W rozwiązaniu zaprezentujemy dwa sposoby obliczenia wartości oporu. Pierwszy - z wykorzystaniem metody potencjałów węzłowych, drugi sposób wykorzystujący wyłącznie prawa Ohma i Kirchhoffa.

SPOSÓB 1.

Stosujemy metodę potencjałów węzłowych by obliczyć wartość prądu $I_3$ . Dolny węzeł traktujemy jako uziemiony i wyliczamy potencjał górnego węzła obwodu dla klucza rozwartego $V_1$ i zwartego $V_{1z}$ :

$V_1\cdot(\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4})=\frac{E_1+E_2}{R_1+R_2}$
$V_{1z}\cdot(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4})=\frac{E_2}{R_2}$

Wartość prądu $I_3$ równa jest ilorazowi potencjału górnego węzła i rezystancji $R_3$ :

$I_3=\frac{V_1}{R_3}$

Chcemy aby prąd był taki sam przy kluczu otwartym i zwartym:

$\frac{V_1}{R_3}=\frac{V_{1z}}{R_3}$

Oznacza to że potencjały liczone w obu pozycjach klucza muszą być sobie równe:

$V_1=V_{1z}$

Podstawiamy wartości i upraszczamy równania:

$V_1\cdot(\frac{1}{3+R_2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{4}{3+R_2}$
$V_{1z}\cdot(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{2}{R_2}$

$V_1\cdot(\frac{1}{3+R_2}+\frac{2+1}{6})=\frac{4}{3+R_2}$
$V_{1z}\cdot(\frac{1}{R_2}+\frac{2+1}{6})=\frac{2}{R_2}$

$V_1\cdot(\frac{1}{3+R_2}+\frac{1}{2})=\frac{4}{3+R_2}$
$V_{1z}\cdot(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{2})=\frac{2}{R_2}$

$V_1\cdot(\frac{2+3+R_2}{2\cdot(3+R_2)})=\frac{4}{3+R_2}\ \ \Big|\cdot (3+R_2)$
$V_{1z}\cdot(\frac{2+R_2}{2R_2})=\frac{2}{R_2}\ \ \Big|\cdot R_2$

$V_1\frac{5+R_2}{2}=4\ \ \Big|\cdot 2$
$V_{1z}\frac{2+R_2}{2}=2\ \ \Big|\cdot 2$

Doprowadziliśmy równania opisujące wartość potencjału węzła w obu pozycjach klucza do możliwie najprostszej postaci:

$V_1=\frac{8}{5+R_2}$
$V_{1z}=\frac{4}{2+R_2}$

Wartości te muszą być dla obu pozycji równe - przyrównujemy i wyliczamy wartość szukanego oporu:

$\frac{8}{5+R_2}=\frac{4}{2+R_2}\ \ \Big|\cdot (5+R_2)(2+R_2)$

$8(2+R_2)=4(5+R_2)$

$16+8R_2=20+4R_2$

$4R_2=4$

$R_2=\boxed{1[\Omega]}$

Odpowiedź: Rezystor powinien mieć wartość 1 om.

SPOSÓB 2.

Wyliczmy opór zastępczy równoległego połączenia oporników 3 i 4 - przyda się nam do wyznaczenia wartości prądu w obwodzie.

$R_{Z3/4}=\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}=\frac{3\Omega\cdot 6\Omega}{3\Omega + 6\Omega}=\frac{18}{9}\Omega=2\Omega$

Prąd $I_3$ jest równy napięciu panującemu na oporach 3 i 4 podzielonemu przez wartość oporu $R_3$ . Z kolei napięcie na oporach 3 i 4 równe jest iloczynowi prądu płynącego przez obwód i oporu zastępczego $R_{Z3/4}$ . Zapiszmy to w postaci równania:

$I_3=I\frac{R_{Z3/4}}{R_3}$ (RÓWNANIE*)

Prąd $I_3$ jaki płynie przy zwartym kluczu może zostać wyliczony analogicznie, przyjmując $I_Z$ jako prąd który płynie w obwodzie przy zwartym kluczu:

$I_{3Z}=I_Z\frac{R_{Z3/4}}{R_3}$ (RÓWNANIE **)

Obliczmy teraz wartości prądu głównego płynącego przez gałąź ze źródłem $E_2$ przy otwartym i zamkniętym kluczu:

$I=\frac{E_1+E_2}{R_1+R_2+R_{Z3/4}}$

$I_Z=\frac{E_2}{R_2+R_{Z3/4}}$

Chcemy aby wartości obu prądów były równe:

$I_3=I_{3Z}$

Wykorzystując wyznaczone wartości $I, I_Z$ oraz powyższe równania (*) i (**), możemy zapisać:

$\frac{E_1+E_2}{R_1+R_2+R_{Z3/4}}\cdot \frac{R_{Z3/4}}{R_3}=\frac{E_2}{R_2+R_{Z3/4}}\cdot \frac{R_{Z3/4}}{R_3}\ \ \Big|:\Big(\frac{R_{Z3/4}}{R_3}\Big)$

Dalsza część zadania sprowadza się do rozwiązania prostego równania. Dla czytelności pomijamy zapisywanie jednostek przy przekształceniach:

$\frac{2+2}{3+R_2+2}=\frac{2}{R_2+2}$

$\frac{4}{R_2+5}=\frac{2}{R_2+2}\ \ \Big|\cdot (R_2+5)(R_2+2)$

$4(R_2+2)=2(R_2+5)$

$4R_2+8=2R_2+10$

$2R_2=2$

$R_2=1[\Omega]$

Jak widać oba sposoby prowadzą do poprawnego wyniku - $R_2=\boxed{1[\Omega]}$

W razie wątpliwości prośba o komentarz.