4. Ustalić, czy po zwarciu zacisków A i B rezystancja zastępcza układu z rys. 4.1 ulegnie zmianie. D.... Question from @Eklerbase

December 2018 1 234 Report

4. Ustalić, czy po zwarciu zacisków A i B rezystancja zastępcza układu z rys. 4.1 ulegnie zmianie. Do obliczeń przyjąć: a) R1 = 40 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω R4 = 60Ω; b) R1 = 40 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 30 Ω R4 = 60Ω. 9. W obwodzie pokazanym na rys. 9.1. obliczyć wartości spadków napięć na wszystkich rezystorach, mając dane E1 = 20 V, E4 = 40 V E6 = 10 V, R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1 kΩ

aczo ZADANIE 4.

Pamiętamy, że rezystancja zastępcza równoległego połączenia dwóch oporników określona jest wzorem:

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

gdzie:

$R_z$ - rezystancja zastępcza

$R_1, R_2$ - rezystancje składowe.

Po przekształceniu powyższego równania da się wyprowadzić formułę, którą warto zapamiętać, przyspiesza ona rozwiązywanie tego typu zadań, mianowicie:

$R_z=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$ .

W dalszej cześci będziemy korzystać z tej reguły.

Przed zwarciem zacisków rezystancja wypadkowa jest równa równoległemu połączeniu dwóch połączonych szeregowo par ( $R_1, R_2$ oraz $R_3, R_4$ ).

$R_{W1}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}$

Po zwarciu zacisków mamy szeregowe połączenie dwóch równoległych par ( $R_1, R_3$ oraz $R_2, R_4$ ).

$R_{W2}=\frac{R_1R_3}{R_1+R_3}+\frac{R_2R_4}{R_2+R_4}$

Obliczmy wartości dla obu wariantów zadania:

a)

Dla zacisków rozwartych:

$R_{W1}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}=\frac{(40+20)(30+60)}{40+40+30+60}[\Omega]=\frac{60\cdot 90}{150}\Omega=\boxed{36[\Omega]}$

Dla zacisków zwartych:

$R_{W2}=\frac{R_1R_3}{R_1+R_3}+\frac{R_2R_4}{R_2+R_4}=\frac{40\cdot 30}{40+30}+\frac{20\cdot 60}{20+60}[\Omega]=\frac{1200}{70}+\frac{1200}{80}[\Omega]\approx \boxed{32,18[\Omega]}$

b)

Dla zacisków rozwartych:

$R_{W1}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}=\frac{(40+40)(30+60)}{40+40+30+60}[\Omega]=\frac{80\cdot 90}{170}[\Omega]\approx \boxed{42,35[\Omega]}$

Dla zacisków zwartych:

$R_{W2}=\frac{R_1R_3}{R_1+R_3}+\frac{R_2R_4}{R_2+R_4}=\frac{40\cdot 30}{40+30}+\frac{40\cdot 60}{40+60}[\Omega]=\frac{1200}{70}+\frac{2400}{100}[\Omega]\approx \boxed{41,14[\Omega]}$

Odpowiedź: Dla żadnego z wariantów rezystancja wypadkowa przed zwarciem zacisków nie jest równa rezystancji wypadkowej po zwarciu zacisków.

ZADANIE 9.

Stosujemy metodę prądów oczkowych. Strzałkowanie prądów i napięć jak na rysunku w załączniku. Korzystając z metody możemy ułożyć poniższe równania:

$I_I\cdot (R_1+R_2+R_3)-I_{II}\cdot R_2 - I_{III}\cdot R_3=E_1$
$I_{II}\cdot (R_2+R_5+R_4)-I_I\cdot R_2-I_{III}\cdot R_4=-E_4$
$I_{III}\cdot (R_3+R_4+R_6)-I_I\cdot R_3-I_{II}\cdot R_4=E_4-E_6$

Podstawiamy wartości i upraszczamy:

$3000I_I-1000I_{II}-1000I_{III}=20\ \ \Big|:1000$
$3000I_{II}-1000I_I-1000I_{III}=-40\ \ \Big|:1000$
$3000I_{III}-1000I_I-1000I_{II}=40-10\ \ \Big|:1000$

Otrzymujemy układ trzech (niestety trzech) równań, który rozwiązujemy. Zwykle takie układy rozwiązuje się już macierzowo, ponieważ nie jestem pewien czy możemy sobie na to pozwolić by nie spowodować, że rozwiązanie będzie niezrozumiałe, stosujemy starą dobrą metodę "na piechotę", czyli podstawiania:

Równanie I : $3I_I-I_{II}-I_{III}=0,02$
Równanie II : $3I_{II}-I_I-I_{III}=-0,04$
Równanie III: $3I_{III}-I_I-I_{II}=0,03$

Z trzeciego równania wyłuskujemy prąd oczka II:

$I_{II}=3I_{III}-I_I-0,03$ (*)

Podstawiamy do drugiego równania i przekształcamy:

$3(3I_{III}-I_I-0,03)-I_I-I_{III}=-0,04$
$9I_{III}-3I_I-0,09-I_I-I_{III}=-0,04$
$8I_{III}-4I_I=-0,04+0,09$
$8I_{III}-4I_I=0,05$
$4I_{I}=8I_{III}-0,05\ \ \ \Big|:4$

Otrzymujemy wartość prądu oczka I w zależności od prądu oczka III:

$I_I=2I_{III}-0,0125$

Podstawiamy do równania które wcześniej oznaczyliśmy (*) i otrzymujemy wartość prądu oczka II w zależności od prądu oczka III:

$I_{II}=3I_{III}-I_I-0,03=3I_{III}-(2I_{III}-0,0125)-0,03=\\=3I_{III}-2I_{III}+0,0125-0,03=I_{III}-0,0175$ (**)

Oba wyliczenia (*) i (**)podstawiamy do naszego pierwszego równania. Dzięki temu wyliczymy wartość prądu $I_{III}$

$3I_I-I_{II}-I_{III}=0,02$

$3(2I_{III}-0,0125)-(I_{III}-0,0175)-I_{III}=0,02$

$6I_{III}-0,0375-I_{III}+0,0175-I_{III}=0,02$

$4I_{III}=0,02-0,0175+0,0375$

$4I_{III}=0,04$

$I_{III}=0,01$

Mamy już prąd oczka III. Korzystając z równań (*) i (**) wyliczenie prądów pozostałych oczek jest już tylko formalnością:

$I_I=2I_{III}-0,0125=2\cdot 0,01-0,0125=0,0075$

$I_{II}=I_{III}-0,0175=0,01-0,0175=-0,0075$

Mamy już wartości wsztystkich prądów oczkowych - możemy pokusić się o wyliczenie napięć na opornikach

$U_{R1}=I_I\cdot R_1=0,0075[A]\cdot 1000[\Omega]=\boxed{7,5[V]}$

$U_{R2}=(I_I-I_{II})\cdot R_2=0,015[A]\cdot 1000[\Omega]=\boxed{15[V]}$

$U_{R3}=(I_I-I_{III})\cdot R_3=-0,0025[A]\cdot 1000[\Omega]=\boxed{-2,5[V]}$

$U_{R4}=(I_{II}-I_{III})=-0,0175[A]\cdot 1000[\Omega]=\boxed{-17,5[V]}$

$U_{R5}=I_{II}\cdot R_4=-0,0075[A]\cdot 1000[\Omega]=\boxed{-7,5[V]}$

$U_{R6}=I_{III}\cdot R_6=0,01[A]\cdot 1000[\Omega]=\boxed{10[V]}$

Wykonujemy sprawdzenie poprawności wyniku - sprawdzamy czy dla wszystkich oczek suma napięć równa jest zeru (II prawo Kirchhoffa):

Oczko 1: $E_1-U_{R1}-U_{R2}-U_{R3}=20-7,5-15-(-2,5)=20-22,5+2,5=0$

Oczko 2: $U_{R2}-U_{R5}-E_4-U_{R4}=15-(-7,5)-40-(-17,5)=15+7,5-40+17,5=40-40=0$

Oczko 3: $U_{R4}+E_4-U_{R6}-E_6+U_{R3}=-17,5+40-10-10+(-2,5)=-37,5-2,5+40=-40+40=0$

Bilans napięć się zgadza, czyli rozwiazanie jest poprawne.

Odpowiedź: Napięcia na rezystorach: $U_{R1}=7,5[V], U_{R2}=15[V], U_{R3}=-2,5[V],\\ U_{R4}=-17,5[V], U_{R5}=-7,5[V], U_{R6}=10[V]$

W razie wątpliwości prośba o komentarz.