Question

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków? x2+(2m-3)x+2m+5=0

Answer 1

x2+(2m-3)x+2m+5=0

 

W zadaniu musimy spełnić 2 warunki:

1) równanie musi mieć 2 pierwiastki

2) te pierwiastki muszą mieć różne znaki

 

Warunek 1 jest spełniony gdy DELTA jest dodatnia, bowiem wtedy równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki:

DELTA > 0

b^2 - 4ac > 0

(2m-3)^2 - 4*1*(2m+5) > 0

4m^2 -12m +9 - 8m - 20 > 0

4m^2 -20m - 11 > 0

4(m - 5,5)(m + 0,5) > 0

m należy (-oo, -0,5)u(5,5 , +oo)

 

2 warunek jest spełniony gdy pierwiastki mają różne znaki a więc jeden z nich jest dodatni a drugi ujemny, jest tak wówczas gdy ich iloczyn jest ujemny (bo liczba dodatnia razy ujemna daje ujemną), a wzór na iloczyn pierwiastków to c/a. Czyli 2 warunek wygląda następująco:

c/a < 0

wspólczynnik "a" wynosi 1 więc:

c < 0

2m +5 < 0

2m < -5

m < -2,5

m należy (-oo, -2,5)

 

Ale obydwa warunki muszą być spełnione więc ostatecznie:

m należy (-oo, -2,5)