Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności: x² - 3x + 2 < 0jest zawarty w zbiorze r.... Question from @LirkaLirka

LirkaLirka @LirkaLirka

October 2018 1 85 Report

Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności:

x² - 3x + 2 < 0

jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności:

mx² - (3m + 1)x + 3 > 0 ?

Hajtowy95

Zacznijmy od rozwiązania pierwszej nierówności.

$x^2 - 3x + 2 < 0$ - wzory Viet'e'a do pierwiastków.

$x_1=1$

$x_2=2$

$x \in (1;2)$

Musimy więc ustalić kiedy parabola $<span>mx^2-(3m+1)x+3$ jest powyżej osi OX na przedziale $(1;2)$

Jeżeli $m=0$ to mamy nierówność $-x+3>0$ , której zbiór rozwiązań zawiera przedział $(1;2)$

Jeżeli $m<0$ , to ramiona paraboli $mx^2 - (3m + 1)x + 3$ są skierowane w dół i wystarczy aby jej wartości były nieujemne w końcach przedziału $(1;2)$

$0 \le m-(3m+1)+3=2-2m$ => $m \le 1$

$0 \le 4m-2(3m+1)+3=1-2m$ => $m \le \frac{1}{2}$

Mamy więc w tym przypadku $m<0$

Jeżeli $m>0$ , to ramiona paraboli $mx^2 - (3m + 1)x + 3$ są skierowane do góry. Kiedy będzie ona powyżej osi na przedziale $(1;2)$ ? Jest kilka możliwości. Sprawdźmy kiedy cała parabola jest powyżej osi $(\Delta <0)$

$\Delta >0=(3m+1)^2-12m=(3m-1)^2$

Nierówność ta jest oczywiście sprzeczna.

Ponieważ parabola zawsze przecina oś OX , jej wierzchołek musi być poza przedziałem $(1;2)$ , a wartości w końcach przedziału muszą być nieujemne. Wartości na końcach przedziału już sprawdzaliśmy – są nieujemne dla $m \le \frac{1}{2}$ , pozostaje więc sprawdzić warunek z wierzchołkiem.

$1 \ge = \frac{3m+1}{2m}$ => $m \le -1$