Question

Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania jest równa S:

x²+2(m-1)x+m²-4=0; S=12

Answer 1

Answer 2

x²+2(m-1)x+m²-4=0

Warunki:  1°.  Δ>0  ⇔ b²-4ac >0

                                 4(m-1)²-4(m²-4) >0

                            4(m²-2m+1)-4m²+16 >0

                            4m²-8m+4-4m²+16 >0

                            -8m+20 >0  ⇒  -8m >-20   /:(-8)

                                                    m< 20/8   ⇒   m<2½

              2°.  x₁²+x₂² = 12

                  Przekształcamy lewą stronę tak, aby móc skorzystać ze wzorów Viete'a.

                   x₁²+2x₁x₂+x₂² - 2x₁x₂ = 12

                   (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = 12

                   (-b/a)² - 2· c/a = 12

                   [-2(m-1)]² - 2·(m²-4) = 12

                   4(m²-2m+1) -2m²+8-12 =0

                   4m²-8m+4-2m²-4 =0

                     2m²-8m = 0

                     2m(m-4) = 0    ⇔   m=0   ∨  m-4=0

                                                                m=4

       Warunki 1° i 2° muszą być spełnione jednocześnie , zatem tylko m=0 spełnia

       nierówność  m<2½.

       Odp. Suma kwadratów pierwiastków danego równania jest równa 12 dla m=0.