Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1 x2 x3 równania x^3-9x^2+(a-5)x-15=0 spełniają warunki.... Question from @estrella1995

estrella1995 @estrella1995

October 2018 1 27 Report

Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1 x2 x3 równania x^3-9x^2+(a-5)x-15=0 spełniają warunki x2=x1+r i x3=x1+2r? Wyznacz rozwiązania tego równania.

BARDZO PROSZĘ O POMOC!!! Z GÓRY BARDZO DZIĘKUJĘ.

Roma

Przyjmuję, że parametr to m, chociaż w równaniu jest a

$x^3-9x^2+(m-5)x-15=0 \\\ x_2=x_1+r \\\ x_3=x_1+2r$

Zatem pierwiastki tego równania są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

--------------------------------------------------

Skorzystamy ze wzorów Viète'a dla równania trzeciego stopnia

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \\\\ x_1+x_2+ x_3 = - \frac{b}{a} \\\\ x_1x_2+ x_2x_3+ x_3x_1= \frac{c}{a} \\\\ x_1x_2x_3 = - \frac{d}{a}$

--------------------------------------------------

$x^3-9x^2+(m-5)x-15=0 \\\ a = 1; \ b = - 9; \ c = m- 5; \ d = - 15 \\\\ \begin{cases} x_1+x_1+r+ x_1+2r = \frac{-(-9)}{1} \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= \frac{m-5}{1} \\ x_1 \cdot (x_1+r)(x_1+2r) = \frac{- (-15)}{1} \end{cases} \\\\ \begin{cases} 3x_1+3r = 9 \ /:3 \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ x_1 \cdot (x_1+r)(x_1+2r) =15 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1+r = 3 \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ x_1 \cdot (x_1+r)(x_1+2r) =15 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1= 3-r \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ (3-r) (3-r+r)(3-r+2r) =15 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1= 3-r \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ (3-r) \cdot 3 \cdot (3+r) =15 \end{cases}$

Rozwiążemy trzecie równanie układu:

$(3-r) \cdot 3 \cdot (3+r) =15 \\\ (9 - 3r)(3+r) =15 \\\ 27 + 9r - 9r - 3r^2 - 15 = 0 \\\ - 3r^2 +12 = 0 \ /:(-3) \\\ r^2 - 4 = 0 \\\ (r - 2)(r + 2) = 0 \\\ r - 2 =0 \ \vee \ r + 2 = 0 \\\\ r - 2 = 0 \\\ r = 2 \\\\ r + 2 = 0 \\\ r = - 2$

Zatem:

$\begin{cases} x_1= 3-r \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ r = 2 \end{cases} \\\ lub \\\ \begin{cases} x_1= 3-r \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ r = -2 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1= 3-2\\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ r = 2 \end{cases} \\\ lub \\\ \begin{cases} x_1= 3-(-2) \\ x_1 \cdot (x_1+r)+ (x_1+r)(x_1+2r)+ (x_1+2r) \cdot x_1= m-5 \\ r = -2 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1= 1\\ 1 \cdot (1+2)+ (1+2)(1+2\cdot 2)+ (1+2 \cdot 2) \cdot 1= m-5 \\ r = 2 \end{cases} \\\ lub \\\ \begin{cases} x_1= 5 \\ 5 \cdot (5-2)+ (5-2)[5+2 \cdot (-2)]+ [5+2 \cdot (-2)] \cdot 5= m-5 \\ r = -2 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1= 1\\ 3+ 3 \cdot 5+ 5= m-5 \\ r = 2 \end{cases} \\\ lub \\\ \begin{cases} x_1= 5 \\ 15+ 3 \cdot 1+ 1 \cdot 5= m-5 \\ r = -2 \end{cases} \\\\ \\\\ \begin{cases} x_1= 1\\ 23 = m-5 \\ r = 2 \end{cases} \\\ lub \\\ \begin{cases} x_1= 5 \\ 23= m-5 \\ r = -2 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1= 1\\ m = 28 \\ r = 2 \end{cases} \\\ lub \\\ \begin{cases} x_1= 5 \\ m = 28 \\ r = -2 \end{cases}$

Zatem dla m = 28 pierwiastki równania spełniają warunki podane w zadaniu.

I sposób

$\begin{cases} x_1= 1\\ r = 2 \\ x_2=1+2 \\ x_3=1+2 \cdot 2 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x_1= 5 \\ r = -2 \\ x_2=5- 2 \\ x_3=5+2 \cdot (-2) \end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1= 1\\ r = 2 \\ x_2=3 \\ x_3=5 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x_1= 5 \\ r = -2 \\ x_2=3 \\ x_3=1 \end{cases}$

Zatem pierwiastki równania to: 1; 3 i 5.

II sposób

$x^3-9x^2+(m-5)x-15=0 \\\ x^3-9x^2+(28-5)x-15=0 \\\ x^3-9x^2+23x-15=0 \\\ x^3 - x^2 - 8x^2 + 8x + 15x - 15 = 0 \\\ x^2 \cdot (x - 1) - 8x \cdot (x - 10 + 15 \cdot (x - 1) = 0 \\\ (x - 1)(x^2 - 8x + 15) = 0 \\\ x - 1 = 0 \ \vee \ x^2 - 8x + 15 = 0 \\\\ x - 1 = 0 \\\ x = 1 \\\\ x^2 - 8x + 15 = 0 \\\ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \\\ \sqrt{\Delta} = 2 \\\\ x_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \\\\ x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$