Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1, x2, x3, równania x^3-3x^2-6x+m=0 spełniają warunki: .... Question from @estrella1995

estrella1995 @estrella1995

October 2018 1 28 Report

Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1, x2, x3, równania x^3-3x^2-6x+m=0 spełniają warunki: x2=x1*q, x3=x1*q^2? Wyznacz te pierwiastki.

POMOŻE KTOŚ? Z GÓRY BARDZO DZIĘKUJĘ!

Roma

$x^3-3x^2-6x+m=0 \\\\ x_2=x_1 \cdot q \\\\ x_3=x_1 \cdot q^2$

Zatem pierwiastki tego równania są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

--------------------------------------------------

Skorzystamy ze wzorów Viète'a dla równania trzeciego stopnia

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \\\\ x_1+x_2+ x_3 = - \frac{b}{a} \\\\ x_1x_2+ x_2x_3+ x_3x_1= \frac{c}{a} \\\\ x_1x_2x_3 = - \frac{d}{a}$

--------------------------------------------------

$x^3-3x^2-6x+m=0 \\\ a = 1; \ b = - 3; \ c = - 6; \ d = m \\\ x_2=x_1 \cdot q \ \wedge \ x_3=x_1 \cdot q^2 \\\\ \begin{cases} x_1+x_1 \cdot q+ x_1 \cdot q^2 = \frac{-(-3)}{1}\\x_1 \cdot x_1 \cdot q+ x_1 \cdot q \cdot x_1 \cdot q^2 + x_1 \cdot q^2 \cdot x_1= \frac{-6}{1} \\x_1 \cdot x_1 \cdot q \cdot x_1 \cdot q^2 = \frac{-m}{1}\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1\cdot (1 + q+ q^2) = 3 \ /: (1 + q+ q^2) \\x_1^2 \cdot q+ x_1^2\cdot q^3 + x_1^2 \cdot q^2 = -6 \\x_1^3\cdot q^3=- m\end{cases}$

$\begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 + q+ q^2}\\x_1^2 \cdot q \cdot (1 + q^2 +q) = -6 \\x_1^3\cdot q^3=- m\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 + q+ q^2}\\(\frac{3}{1 + q+ q^2})^2 \cdot q \cdot (1 + q^2 +q) = -6 \\x_1^3\cdot q^3=- m\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 + q+ q^2}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_1^3\cdot q^3=- m\end{cases}$

Rozwiążemy drugie równnie układu:

$\frac{9}{(1 + q+ q^2)^2} \cdot q \cdot (1 + q^2 +q) = -6 \\\\ \frac{9q}{1 + q+ q^2}= -6 \ / \cdot (1 + q+ q^2) \\\\ 9q = -6 \cdot (1 + q+ q^2) \\\\ 9q = - 6 - 6q - 6q^2 \\\\ 9q + 6 + 6q +6q^2 = 0 \\\\ 6q^2 + 15 q + 6 = 0 \ /:3 \\\\ 2q^2 + 5q + 2 = 0 \\\ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3 \\\\ q_1 = \frac{-5-3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = - 2 \\\\ q_2 = \frac{-5+3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = - \frac{1}{2}$

Zatem:

$\begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 + q+ q^2}\\ q= - 2 \\x_1^3\cdot q^3=- m\end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 + q+ q^2}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_1^3\cdot q^3=- m\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 -2+(- 2)^2}\\ q= - 2 \\x_1^3\cdot (-2)^3=- m\end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}+ (- \frac{1}{2})^2}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_1^3\cdot (- \frac{1}{2})^3=- m\end{cases}$

$\begin{cases} x_1 = \frac{3}{-1+4}\\ q= - 2 \\x_1^3\cdot (-8)=- m\end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_1^3\cdot (- \frac{1}{2})^3=- m\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{3}\\ q= - 2 \\x_1^3\cdot (-8)=- m\end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = \frac{3}{\frac{3}{4}}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_1^3\cdot (- \frac{1}{8})=- m\end{cases}$

$\begin{cases} x_1 = 1\\ q= - 2 \\1^3\cdot (-8)=- m\end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = 4}\\ q= - \frac{1}{2} \\4^3\cdot (- \frac{1}{8})=- m\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = 1\\ q= - 2 \\-8=- m \ / \cdot (-1) \end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = 4}\\ q= - \frac{1}{2} \\64 \cdot (- \frac{1}{8})=- m\end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = 1\\ q= - 2 \\ m = 8 \end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = 4}\\ q= - \frac{1}{2} \\ - 8 =- m \ \cdot (-1)\end{cases}$

$\begin{cases} x_1 = 1\\ q= - 2 \\ m = 8 \end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = 4}\\ q= - \frac{1}{2} \\m = 8 \end{cases}$

Zatem dla m = 8 pierwiastki równania spełniają warunek podany w zadaniu.

Obliczamy pierwiastki równania dla m = 8

I sposób

$\begin{cases} x_1 = 1\\ q= - 2 \\ x_2=1 \cdot (-2) \\x_3=1 \cdot (-2)^2 \end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = 4}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_2=4 \cdot (- \frac{1}{2})\\x_2=4 \cdot (- \frac{1}{2})^2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x_1 = 1\\ q= - 2 \\ x_2=-2 \\x_3=4 \end{cases} \ \wedge \ \begin{cases} x_1 = 4}\\ q= - \frac{1}{2} \\x_3= -2\\x_2=1 \end{cases}$

Zatem pierwiastki równania to: - 2; 1 i 4

II sposób

$x^3-3x^2-6x+8=0 \\\ x^3 + 2x^2 - 5x^2 - 10x + 4x + 8 = 0 \\\ x^2 \cdot (x + 2) - 5x \cdot (x + 2) + 4 \cdot (x + 2) = 0 \\\ (x + 2)(x^2 - 5x^2 + 4) = 0 \\\ x + 2 = 0 \ \vee \ x^2 - 5x^2 + 4 = 0 \\\\ x + 2 = 0 \\\ x = - 2 \\\\ x^2 - 5x^2 + 4 = 0 \\\ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9; \\\ \sqrt{\Delta} = 3 \\\\ x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \\\\ x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$